Раздел 1. Четыре школы философской математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Политология и международные отношения»

 

 

РЕФЕРАТ

по дисциплине «История и философия науки»

ТЕМА

«Философия математики»

 

Выполнил:

Аспирант Тилахун Адимасу Черу

Проверила:

Д. филос.н.,

 профессор Жиртуева Н.С.

 

Севастополь

2020

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………………..3

Раздел 1. Четыре школы философской математики……...……………………….5

          1.1. Логика…………………………………………………………………5

          1.2. Интуиционизм………………………………………………………...7

          1.3. Формализм…………………………………………………………....8

          1.4. Предикативизм………………………………………………………12

Раздел 2. Платонизм.................................................................................................16

          2.1. Платонизм Гегеля……………………………………………...........16

          2.2. Натурализм и незаменимость………………………………............18

          2.3. Дефлирование платонизма………………………………………....20

Раздел 3. Структурализм и номинализм…………………………………………22

          3.1. Ante Rem Structuralism ……………………………………………..22

          3.2. Математика без абстрактных сущностей……………………........23

          3.3. Ребусский структурализм................................................................25

          3.4. Вымышленность.................................................................................26

Раздел 4. Субдисциплины философии математики……………………………..28

           4.1. Основы и теория множеств……………………………………......28

           4.2. Категоричность……………………………………………………..29

           4.3. Расчет и доказательство……………………………………………30

Раздел 5. Будущее философии математики…………………..............................32

Заключение…………………………………………………………………………34

Список использованных источников и литературы……………………………..36

Введение

 

Как известно, математика занимает особое, титулованное место среди других наук. Составляющее математики, ее философия рассматривает проблемы, связанные с логикой, интуиционизмом, формализмом, предикативизмом. В отличие от других форм знания, где мы учимся на собственном опыте, математические знания, похоже, связаны исключительно с областью мысли. В дополнение к конкретным вопросам о математике, обсуждение также касается того, как математические знания вписываются в более широкую схему вещей, и более общего описания наших когнитивных способностей. философия математики может рассматриваться как раздел философии науки, рядом с такими дисциплинами, как философия физики и философия биологии. Однако из-за своего предмета философия математики занимает особое место в философии науки. Принимая во внимание, что естественные науки исследуют объекты, находящиеся в пространстве во времени, совершенно не очевидно, что это также относится и к объектам, которые изучаются в математике.

Математическое знание долгое время рассматривалось как модель человеческого знания с истинами, которые являются одновременно важными и определенными. В отличие от исследований в области естественных и физических наук, предметы, которые изучаются в математике, не обязательно должны находиться во времени. Методы исследования математики существенно отличаются от методов исследования в других науках. Математические знания приобретаются, как правило, путем выведения из основных принципов, тогда как в других областях науки предметы получают с использованием индуктивных методов.

На первый взгляд кажется, что математика изучает абстрактные сущности. Это заставляет задуматься, в чем заключается природа математических объектов и как мы можем иметь знания о математических объектах. Если эти проблемы считаются неразрешимыми, то можно попытаться выяснить, могут ли математические объекты как-то принадлежать конкретному миру.

   С другой стороны, оказалось, что в некоторой степени можно использовать математические методы для решения философских вопросов, касающихся математики. Обстановка, в которой это было сделано, является математической логикой, когда она широко понимается как включающая теорию доказательств, теорию моделей, теорию множеств и теорию вычислимости в качестве подполей. Таким образом, двадцатый век стал свидетелем математического исследования последствий основных философских теорий, касающихся природы математики.

Когда профессиональные математики занимаются основами своего предмета, говорят, что они занимаются фундаментальными исследованиями. Когда профессиональные философы исследуют философские вопросы, касающиеся математики, говорят, что они вносят вклад в философию математики. Конечно, различие между философией математики и основами математики расплывчато, и чем больше взаимодействия между философами и математиками, работающими над вопросами, относящимися к природе математики, тем лучше.

Целью исследования является рассмотреть философию математики и ее различные аспекты.

Задачи исследования:

1). Рассмотреть основные школы философской математики.

2). Определить сущность платонизма

3). Определить значение номинализма и структурализма в философии математики

4). Рассмотреть субдисциплины философии математики

 

РАЗДЕЛ 1. ЧЕТЫРЕ ШКОЛЫ ФИЛОСОФСКОЙ МАТЕМАТИКИ

 

Вплоть до XIX века, ключевым моментом в научном мировоззрении являлся эмпирический аспект. Платонистические аспекты рационалистических теорий математики быстро теряли поддержку. Особенно когда-то высоко ценившая способность рациональной интуиции идей воспринималась с подозрением. Таким образом, стало сложным сформулировать философскую теорию математики, в которой нет платонических элементов. В первые десятилетия двадцатого века были разработаны три не платонистских описания математики: логика, формализм и интуиционизм. В начале двадцатого века появилась и четвертая программа: предикативизм. Из-за непредвиденных исторических обстоятельств его истинный потенциал не был раскрыт до 1960-х годов. Однако он заслуживает места рядом с тремя традиционными школами, которые обсуждаются в большинстве стандартных современных введений в философию математики, таких как [5, с.122] и [2, с. 355].

1.1. Логика. Идея, что математика — это замаскированная логика, восходит к Лейбницу. Но серьезная попытка выполнить программу логиков в деталях могла быть предпринята только тогда, когда в XIX веке были сформулированы основные принципы центральных математических теорий (Дедекиндом и Пеано), а принципы логики были раскрыты (Фреге).

Фреге посвятил большую часть своей карьеры попыткам показать, как математика может быть сведена к логике [13, с. 150]. Ему удалось вывести принципы арифметики Пеано (второго порядка) из основных законов системы логики второго порядка. Его происхождение было безупречным. Однако он опирался на один принцип, который в конце концов оказался не логичным. Еще хуже, это несостоятельно. Рассматриваемый принцип - Основной закон Фреге V:

  {x | Fx} = {x | Gx} тогда и только тогда, когда ∀x (Fx≡Gx),

На словах: множество Fs совпадает с множеством Gs, если Fs именно Gs.

В известном письме к Фреге Рассел показал, что Основной закон Фреге V влечет за собой противоречие. Этот аргумент стал известен как парадокс Рассела [8, с. 75].

 Затем Рассел сам попытался свести математику к логике по-другому. Основной закон V Фреге предусматривает, что в соответствии с каждым свойством математических объектов существует класс математических объектов, обладающих этим свойством. Это было очевидно слишком сильным, поскольку именно это следствие привело к парадоксу Рассела. Итак, Рассел предположил, что только свойства математических объектов, которые, как уже было показано, существуют, определяют классы. Предикаты, которые неявно ссылаются на класс, который они должны были определить, существует ли такой класс, не определяют класс. Таким образом получается типизированная структура свойств: свойства наземных объектов, свойства наземных объектов и классов наземных объектов и т. д. Эта типизированная структура свойств определяет многоуровневую совокупность математических объектов, начиная с наземных объектов, переходя к классам наземных объектов, затем к классам наземных объектов и классам наземных объектов и так далее.

(Это отношение взаимно-однозначного соответствия может быть выражено в логике второго порядка.) Затем на втором этапе принципы арифметики Пеано второго порядка выводятся из принципа Юма и принятых принципов логики второго порядка. В частности, Основной закон V не требуется во второй части деривации. Кроме того, Райт предположил, что в отличие от Основного закона V Фреге, принцип Юма является последовательным. Джордж Булос и другие заметили, что Принцип Юма действительно последовательный [1, с. 75]. Райт продолжал утверждать, что Принцип Юма можно рассматривать как истину логики. Если это так, то по крайней мере арифметика Пеано второго порядка сводится к одной логике. Так родилась новая форма логики; сегодня эта точка зрения известна как неологизм [5, с. 175]. Работа Райта привлекла внимание философов математики к тому типу принципов, примерами которых являются Основной закон V и Принцип Юма. Эти принципы называются принципами абстракции. В настоящее время философы математики пытаются построить общие теории принципов абстракции, которые объясняют, какие принципы абстракции приемлемы, а какие нет и почему. Кроме того, выяснилось, что в контексте ослабленных версий логики второго порядка Основной закон V Фреге является последовательным. Но эти слабые фоновые теории позволяют получить очень слабые арифметические теории из Основного Закона V [8, с. 108].

1.2. Интуиционизм. Интуиционизм берет свое начало в работах математика Л.Е.Дж. Брауэр, и он вдохновлен кантианскими взглядами на то, что представляют собой объекты [13, с. 145-148]. Согласно интуиционизму, математика по сути является деятельностью строительства. Натуральные числа являются ментальными конструкциями, действительные числа являются ментальными конструкциями, доказательства и теоремы являются ментальными конструкциями, математическое значение является ментальной конструкцией... Математические конструкции создаются идеальным математиком, т. е. Абстракция создается из условных, физических ограничений реального математик жизни. Но даже идеальный математик остается конечным существом. Она никогда не сможет завершить бесконечное построение, даже если она может завершить сколь угодно большие конечные начальные части этого. Это влечет за собой то, что интуиционизм решительно отвергает существование фактического (или завершенного) бесконечного; только потенциально бесконечные коллекции даны в деятельности строительства. Основным примером является последовательное построение во времени отдельных натуральных чисел.

Из этих общих соображений о природе математики, основанных на состоянии человеческого разума [2, с. 263], интуиционисты делают вывод о ревизионистской позиции в логике и математике. Они находят неконструктивные доказательства существования неприемлемыми. Неконструктивные доказательства существования - это доказательства, призванные продемонстрировать существование математического объекта, обладающего определенным свойством, даже неявно содержащего метод генерации примера такого объекта. Интуиционизм отвергает неконструктивные доказательства существования как «теологические» и «метафизические». Характерной особенностью неконструктивных доказательств существования является то, что они существенно используют принцип исключенного третьего φ∨φ, или один из его эквивалентов, таких как принцип двойного отрицания.

В классической логике эти принципы действительны. Логика интуиционистской математики получается путем исключения принципа исключенного третьего (и его эквивалентов) из классической логики. Это, конечно, приводит к пересмотру математических знаний. Например, классическая теория элементарной арифметики Peano Arithmetic больше не может быть принята. Вместо этого предлагается интуиционистская теория арифметики (называемая арифметикой Хейтинга), которая не содержит принцип исключенного третьего.

Хотя элементарная арифметика интуиционистов слабее классической элементарной арифметики, разница не так уж велика. Существует простой синтаксический перевод, который переводит все классические теоремы арифметики в теоремы, которые интуитивистский доказуемы.

В первые десятилетия двадцатого столетия части математического сообщества симпатизировали интуиционистской критике классической математики и предложенной ею альтернативе. Эта ситуация изменилась, когда стало ясно, что в высшей математике интуиционистская альтернатива довольно резко отличается от классической теории. Например, интуиционистский математический анализ - довольно сложная теория, и она сильно отличается от классического математического анализа. Это ослабило энтузиазм математического сообщества к интуиционистскому проекту. Тем не менее, последователи Брауэра продолжают развивать интуиционистскую математику и по сей день [3, с. 222].

1.3. Формализм. Дэвид Гильберт согласился с интуиционистами, что в некотором смысле естественные числа являются основными в математике. Но в отличие от интуиционистов, Гильберт не воспринимал натуральные числа как ментальные конструкции. Вместо этого он утверждал, что натуральные числа можно считать символами. Символы строго говоря абстрактные объекты. Тем не менее, для символов важно, чтобы они могли быть воплощены конкретными объектами, поэтому мы можем назвать их квазибетонными объектами [9, с. 144]

В отличие от интуиционистов, Гильберт не был готов занять ревизионистскую позицию по отношению к существующей совокупности математических знаний. Вместо этого он занял инструменталистскую позицию в отношении высшей математики. Он думал, что высшая математика - не более чем формальная игра. Утверждения математики высшего порядка представляют собой не интерпретируемые строки символов. Доказательство таких утверждений - не более чем игра, в которой символами манипулируют согласно установленным правилам. Смысл «игры высшей математики» состоит, по мнению Гильберта, в доказательстве утверждений элементарной арифметики, которые имеют прямое толкование [13, с. 157].

Гильберт считал, что не может быть никаких разумных сомнений относительно надежности классической арифметики Пеано - или, по крайней мере, относительно надежности ее подсистемы, которая называется примитивно-рекурсивной арифметикой [8, с. 55]. И он думал, что каждое арифметическое утверждение, которое может быть доказано путем обхода через высшую математику, также может быть доказано непосредственно в арифметике Пеано. На самом деле он сильно подозревал, что любая проблема элементарной арифметики может быть решена из аксиом арифметики Пеано. Конечно, решение арифметических задач в арифметике в некоторых случаях практически невозможно. История математики показала, что создание «обходного пути» через высшую математику может иногда приводить к доказательству арифметического утверждения, которое намного короче и которое дает больше понимания, чем любое чисто арифметическое доказательство того же утверждения.

 Гильберт понял, хотя и немного смутно, что некоторые из его убеждений можно считать математическими догадками. Для доказательства в формальной системе высшей математики или элементарной арифметики есть конечный комбинаторный объект, который по модулю кодирования можно считать натуральным числом. Но в 1920-х годах детали кодирования доказательств как натуральных чисел еще не были полностью поняты.

С точки зрения формализма, минимальное требование формальных систем высшей математики — это, по крайней мере, их согласованность. В противном случае каждое утверждение элементарной арифметики может быть доказано в них. Гильберт также видел (опять же, смутно), что согласованность системы высшей математики влечет за собой то, что эта система хотя бы частично арифметически обоснована. Поэтому Гильберт и его ученики намеревались доказать такие утверждения, как последовательность стандартных постулатов математического анализа. Конечно, такие утверждения должны быть доказаны в «безопасной» части математики, такой как элементарная арифметика. В противном случае доказательство не увеличивает нашу убежденность в согласованности математического анализа. И, к счастью, в принципе это казалось возможным сделать, поскольку в конечном счете утверждения о согласованности, опять же по модулю, являются арифметическими утверждениями. Поэтому, если быть точным, Гильберт и его ученики намеревались доказать непротиворечивость, например, аксиом математического анализа в классической арифметике Пеано. Этот проект был известен как программа Гильберта. Это оказалось сложнее, чем они ожидали. Фактически, им даже не удалось доказать непротиворечивость аксиом арифметики Пеано в арифметике Пеано.

Затем Курт Гедель доказал, что существуют арифметические утверждения, которые неразрешимы в арифметике Пеано [13, с. 152]. Это стало известно, как первая теорема Геделя о неполноте. Это не сулило ничего хорошего для программы Гильберта, но оставило открытой возможность того, что последовательность высшей математики не является одним из этих неразрешимых утверждений. К сожалению, Гедель тогда быстро понял, что, если (не дай Бог!) Арифметика Пеано непоследовательна, согласованность арифметики Пеано не зависит от арифметики Пеано. Это вторая теорема Геделя о неполноте. Теоремы Геделя о неполноте оказываются применимыми ко всем достаточно сильным, но последовательным рекурсивно аксиоматизируемым теориям. Вместе они влекут за собой провал программы Гильберта. Оказывается, что высшая математика не может быть интерпретирована чисто инструментальным способом. Высшая математика может доказать арифметические предложения, такие как утверждения о согласованности, которые недоступны арифметике Пеано.

Все это не означает конец формализма. Даже в свете теорем о неполноте логично утверждать, что математика - это наука о формальных системах.

Одна версия этого взгляда была предложена Карри [6, с. 69]. С этой точки зрения математика состоит из набора формальных систем, которые не имеют интерпретации или предмета. (Здесь карри делает исключение для метаматематики.) Относительно формальной системы можно сказать, что утверждение истинно тогда и только тогда, когда оно выводимо в системе. Но на фундаментальном уровне все математические системы находятся на одном уровне. В большинстве случаев могут быть прагматические причины для предпочтения одной системы другой. Несовместимые системы могут доказать все утверждения и поэтому довольно бесполезны. Поэтому, когда система оказывается несовместимой, ее необходимо изменить. Это просто урок из теорем Геделя о неполноте, что достаточно сильная непротиворечивая система не может доказать свою собственную непротиворечивость.

 Другая попытка спасти часть программы Гильберта была предпринята Исааксоном [12, с. 530]. Он защищает мнение о том, что в некотором смысле арифметика Пеано все-таки может быть завершена. Он утверждает, что истинные предложения, неразрешимые в арифметике Пеано, могут быть доказаны только с помощью понятий высшего порядка. Например, согласованность арифметики Пеано может быть доказана индукцией вплоть до трансфинитного порядкового числа [2, с. 300]. Но понятие порядкового числа является теоретико-множественным и, следовательно, не арифметическим, понятием. Если единственные способы доказательства непротиворечивости арифметики основательно используют понятия, которые, возможно, принадлежат математике высшего порядка, то непротиворечивость арифметики, даже если она может быть выражена на языке арифметики Пеано, является неарифметической проблемой. И, обобщая это, можно задаться вопросом, может ли гипотеза Гильберта о том, что каждая проблема арифметики может быть решена из аксиом арифметики Пеано, все еще не верна. 

1.4. Предикативизм. Как упоминалось ранее, предикативизм обычно не описывается как одна из школ. Но только по непредвиденным причинам до наступления Второй мировой войны прогнозируемость не поднималась до уровня известности других школ.

Происхождение предикативизма лежит в работе Рассела. По подсказке Пуанкаре он пришел к следующему диагнозу парадокса Рассела. Аргумент парадокса Рассела определяет совокупность C всех математических объектов, удовлетворяющих x∈x. Затем аргумент, продолжается, спрашивая, соответствует ли сам C этому условию, и выводит противоречие.

Диагноз Пуанкаре-Рассела по этому аргументу гласит, что это определение вообще не выделяет коллекцию: невозможно определить коллекцию S по условию, которое неявно ссылается на сам S. Это называется принципом замкнутого круга. Определения, которые нарушают принцип порочного круга, называются непредсказуемыми. Правильное определение коллекции относится только к сущностям, которые существуют независимо от определенной коллекции. Такие определения называются предикативными. Как позже указал Гедель, платоник посчитает эту линию рассуждений неубедительной. Если математические наборы существуют независимо от акта определения, то не сразу понятно, почему не может быть наборов, которые могут быть определены только непредсказуемо [1, с. 89]. Все это привело к тому, что Рассел разработал простую и разветвленную теорию типов, в которой были заложены синтаксические ограничения, делающие неверно сформулированные определения. В теории простого типа свободные переменные в определяющих формулах располагаются в пределах сущностей, к которым нельзя определить коллекцию. В теории разветвленных типов требуется, кроме того, чтобы диапазон связанных переменных в определяющих формулах не включал коллекцию, которая должна быть определена. В разделе 2.1 было указано, что теория типов Рассела не может рассматриваться как сведение математики к логике. Но, несмотря на это, с самого начала было замечено, что, особенно в теории разветвленных типов, слишком громоздко формализовать обычные математические аргументы.

Когда Рассел обратился к другим областям аналитической философии, Герман Вейль занялся предикативистской причиной [3, с. 287]. Как и Пуанкаре, Вейль не разделял желания Рассела сводить математику к логике. И с самого начала он понял, что на практике невозможно работать в теории разветвленных типов. Вейль разработал философскую позицию, которая в некотором смысле является промежуточной между интуиционизмом и платонизмом. Он принял коллекцию натуральных чисел как данность без проблем. Но понятие произвольного подмножества натуральных чисел не было принято сразу же в математической интуиции. Только те подмножества, которые определены арифметическими (то есть первыми) предикатами, принимаются как предикативно приемлемые.

С одной стороны, выяснилось, что многие стандартные определения в математическом анализе являются непредсказуемыми. Например, минимальное замыкание операции над множеством обычно определяется как пересечение всех множеств, которые закрыты под приложениями операции. Но минимальное замыкание само по себе является одним из множеств, которые закрываются при применении операции. Таким образом, определение является непредсказуемым. Таким образом, внимание постепенно сместилось с озабоченности теоретическими множествами парадоксов на роль непредсказуемости в основной математике. С другой стороны, Вейль показал, что часто можно обойти неуместные понятия. Выяснилось даже, что большая часть основного математического анализа девятнадцатого века может быть доказана на предикативной основе [11, с. 30]

В 1920-х годах вмешалась история. Вейл был подогнан более радикальным интуиционистским проектом Брауэра. Тем временем математики убедились, что высокоимперная теория трансфинитов, разработанная Кантором и Зермело, менее остро угрожает парадоксом Рассела, чем предполагалось ранее. Эти факторы привели к тому, что предикативизм в течение нескольких десятилетий впал в спящее состояние.

Опираясь на работу по обобщенной теории рекурсии, Соломон Феферман расширил прогнозирующий проект в 1960-х годах [9, с. 139]. Он понял, что стратегия Вейля может быть превращена в трансфинитную. Также те наборы чисел, которые могут быть определены с использованием количественного определения по наборам, которые Вейль рассматривал как предикативно оправданные, должны учитываться как предикативно приемлемые и т. д. Этот процесс может распространяться по порядковому пути. Этот ординальный путь простирается настолько далеко в трансфинит, насколько достигают предикативные ординалы, где ординал является предикативным, если он измеряет длину доказуемого упорядочения натуральных чисел. Эта калибровка силы предикативной математики, которая принадлежит Феферману и (независимо) Шютте, в настоящее время является достаточно общепринятой. Затем Феферман исследовал, какой объем стандартного математического анализа может быть выполнен в рамках предикативистской структуры. Исследования Фефермана и других (особенно Харви Фридмана) показывают, что большая часть анализа двадцатого века является приемлемой с точки зрения предикативизма. Но также ясно, что не вся современная математика, общепринятая в математическом сообществе, является приемлемой с точки зрения предикативизма: теория трансфинитных множеств является наглядным примером.

 

РАЗДЕЛ 2. ПЛАТОНИЗМ

2.1. Платонизм Гегеля. Гедель был платинитом по отношению к математическим объектам и по математическим понятиям [7, с. 392]. Но его платонический взгляд был более изощренным, чем взгляд математика на улице.

Гедель утверждал, что существует сильный параллелизм между правдоподобными теориями математических объектов и концепций, с одной стороны, и правдоподобными теориями физических объектов и свойств, с другой стороны. Подобно физическим объектам и свойствам, математические объекты и концепции не создаются людьми. Подобно физическим объектам и свойствам, математические объекты и понятия не сводимы к ментальным объектам. Математические объекты и понятия так же объективны, как физические объекты и свойства. Математические объекты и понятия, как и физические объекты и свойства, постулируются для получения хорошей удовлетворительной теории нашего опыта. На самом деле, способом, аналогичным нашему воспринимаемому отношению к физическим объектам и свойствам, благодаря математической интуиции мы находимся в квази-перцептивном отношении с математическими объектами и понятиями. Наше восприятие физических объектов и концепций подвержено ошибкам и может быть исправлено. Точно так же математическая интуиция не является надежной, как показывает история Основного Закона V Фреге, но ее можно обучать и совершенствовать. В отличие от физических объектов и свойств, математические объекты не существуют в пространстве и времени, а математические концепции не создаются в пространстве или времени.

Наша математическая интуиция предоставляет естественные доказательства математических принципов. Практически все наши математические знания могут быть выведены из аксиом теории множеств Цермело-Френкеля с Аксиомой выбора (ZFC). По мнению Геделя, у нас есть убедительные внутренние доказательства истинности этих аксиом. Но он также обеспокоен тем, что математическая интуиция может быть недостаточно сильной, чтобы предоставить убедительные доказательства для аксиом, которые значительно превышают силу ZFC.

Помимо внутренних доказательств, по мнению Геделя, также возможно получить внешние доказательства математических принципов. Если математические принципы успешны, тогда, даже если мы не сможем получить интуитивное доказательство для них, они могут быть расценены как вероятно верные. Гедель говорит, что «успех здесь означает плодотворность в последствиях, особенно в «поддающихся проверке» последствиях, т.е. в последствиях, поддающихся проверке без новой аксиомы, чье доказательство с помощью новой аксиомы, однако, значительно проще и легче обнаружить, и которые делают его можно заключить в одно доказательство много разных доказательств. Могут существовать аксиомы, столь обильные в своих поддающихся проверке последствиях, проливающие так много света на целое поле, дающие такие мощные методы для решения проблем, что независимо от того, будут ли они изначально необходимы, они должны были бы быть приняты по крайней мере в том же смысле, что и любая устоявшаяся физическая теория» [7, с. 477]. Это вдохновило Геделя на поиск новых аксиом, которые могут быть внешне мотивированы и которые могут решать такие вопросы, как гипотеза континуума, которые очень независимы от ZFC. Гедель разделял убежденность Гильберта в том, что на все математические вопросы есть определенные ответы. Но платонизм в философии математики не следует считать ipso facto приверженным утверждению, что все теоретико-множественные положения имеют определенные истинностные ценности. Существуют версии платонизма, которые утверждают, например, что все теоремы ZFC осуществляются с помощью детерминированных теоретико-множественных фактов, но что не существует теоретико-множественных фактов, которые делают определенные утверждения, которые в высокой степени независимы от ZFC-детерминированных истин. Похоже, что известный теоретик множеств Пол Коэн придерживался такой точки зрения [3, с. 255].

2.2. Натурализм и незаменимость. Куайн сформулировал методологическую критику традиционной философии. Вместо этого он предложил другую философскую методологию, которая стала известна как натурализм [3, с. 167]. Согласно натурализму, наши лучшие теории - наши лучшие научные теории. Если мы хотим получить наилучший доступный ответ на философские вопросы, такие как что мы знаем? Какие виды сущностей существуют? Мы не должны обращаться к традиционным эпистемологическим и метафизическим теориям. Мы также должны воздерживаться от фундаментальных эпистемологических или метафизических исследований, начиная с первых принципов. Скорее, мы должны консультироваться и анализировать наши лучшие научные теории. Они содержат, хотя часто и неявно, наше лучшее на данный момент описание того, что существует, что мы знаем и как мы это знаем.

Путнэм применил натуралистическую позицию Куайна к математической онтологии [12, с. 542]. По крайней мере, со времен Галилея наши лучшие теории естествознания математически выражены. Например, теория гравитации Ньютона в значительной степени опирается на классическую теорию действительных чисел. Таким образом, онтологическая приверженность математическим объектам кажется присущей нашим лучшим научным теориям. Эту линию рассуждений можно усилить, обратившись к тезису Квина о подтвержденном холизме. Эмпирические данные не наделяют своей подтверждающей силой какой-либо отдельной гипотезы. Скорее, опыт в целом подтверждает теорию, в которую заложена индивидуальная гипотеза. Поскольку математические теории являются неотъемлемой частью научных теорий, они также подтверждаются опытом. Таким образом, у нас есть эмпирическое подтверждение для математических теорий. Еще больше кажется правдой. Кажется, что математика необходима для наших лучших научных теорий: совсем не очевидно, как мы могли бы выразить их без использования математического словаря. Следовательно, натуралистическая позиция заставляет нас принимать математические сущности как часть нашей философской онтологии. Эта линия аргументации называется аргументом незаменимости [7, с. 245].

Если мы возьмем математику, которая используется в наших лучших научных теориях, за чистую монету, то мы, похоже, привержены форме платонизма. Но это более скромная форма платонизма, чем платонизм Геделя. Похоже, что естественные науки могут обходиться с (грубо) функциональными пространствами на действительных числах. Высшие области теории трансфинитных множеств, по-видимому, в значительной степени не имеют отношения даже к нашим самым передовым теориям в естественных науках. Тем не менее Куайн считал (в какой-то момент), что множества, которые постулируются ZFC, приемлемы с натуралистической точки зрения; их можно рассматривать как щедрое округление математики, которая используется в наших научных теориях. Решение Куайна по этому вопросу не является общепринятым. Феферман, например, утверждает, что все математические теории, которые в основном используются в наших лучших на данный момент научных теориях, предсказуемо сводимы [11, с. 26]. Мэдди даже утверждает, что натурализм в философии математики полностью совместим с нереалистичным взглядом на множества [10, с. 544]. В философии Куайна естественные науки являются главными арбитрами в отношении математического существования и математической истины. Это привело Чарльза Парсонса к возражению, что эта картина делает очевидность элементарной математики несколько загадочной. Например, вопрос о том, имеет ли каждое натуральное число преемник, в конечном счете, зависит, по мнению Куайна, от наших лучших эмпирических теорий; однако, почему-то этот факт кажется более непосредственным, чем этот. В родственном духе Мэдди отмечает, что математики не принимают себя за какие-либо ограничения в своей деятельности естественными науками. Действительно, можно задаться вопросом, не следует ли считать математику самостоятельной наукой и не следует ли оценивать онтологические обязательства математики скорее на основе рациональных методов, которые подразумеваются в математической практике.

Воодушевленный этими соображениями, Мэдди намеревался исследовать стандарты существования, подразумеваемые в математической практике, и неявные онтологические обязательства математики, вытекающие из этих стандартов [4, с. 57]. Она сосредоточилась на теории множеств и на методологических соображениях, которые выдвигаются математическим сообществом к вопросу о том, какие большие кардинальные аксиомы могут быть приняты как истинные. Таким образом, ее взгляд ближе к взгляду Геделя, чем к взгляду Куайна. В более поздней работе она выделяет две максимы, которые, по-видимому, руководят теоретиками множеств при рассмотрении приемлемости новых теоретических принципов множеств: унифицировать и максимизировать [8, с. 64]. Принцип «унифицировать» — это побуждение теории множеств предоставить единую систему, в которой все математические объекты и структуры математики могут быть созданы или смоделированы. Максимум «максимизировать» означает, что теория множеств должна принять теоретические принципы множества, которые являются настолько мощными и математически плодотворными, насколько это возможно.

2.3. Дефлирование платонизма. Бернейс заметил, что, когда математик работает, она «наивно» относится к объектам, с которыми имеет дело, платоническим способом. Он говорит, что каждый работающий математик – платонист [12, с. 525]. Но когда математик пойман на посту философом, который опрашивает ее о ее онтологических обязательствах, она склонна перетасовывать свои ноги и уходить в смутно неплатонистскую позицию. Это было принято некоторыми, чтобы показать, что с философскими вопросами о природе математических объектов и математических знаний что-то не так.

Карнап ввел различие между вопросами, которые являются внутренними для структуры, и вопросами, которые являются внешними для структуры. Тейт детально проработал, как нечто подобное этому различию может быть применено к математике [11, с. 35]. Это привело к тому, что можно рассматривать как дефляционную версию платонизма.

Согласно Тейту, вопросы о существовании математических сущностей могут быть заданы только разумно и разумно даны изнутри (аксиоматические) математические рамки. Например, если кто-то работает в теории чисел, то можно спросить, существуют ли простые числа с заданным свойством. Такие вопросы должны быть решены исключительно по математическим соображениям.

Философы имеют тенденцию выходить за рамки математики и спрашивать «извне», существуют ли математические объекты на самом деле и действительно ли математические положения истинны. В этом вопросе они спрашивают о над математические или метафизические основания для математических утверждений об истине и существовании. Тейт утверждает, что трудно понять, как можно понять такие внешние вопросы. Он пытается спустить их и вернуть их туда, где они должны быть: к самой математической практике. Конечно, не все согласны с Тейтом в этом вопросе. Линский и Залта разработали систематический способ точного ответа на такие внешние вопросы, к которым Тейт относится с презрением [10, с. 528]

Неудивительно, что Тейт мало что использует для апелляций Геделиана к математической интуиции в философии математики или для философского тезиса о том, что математические объекты существуют «вне пространства и времени». В целом, Тейт считает, что математика не нуждается в философском обосновании; он хочет, чтобы математика говорила сама за себя. В этом смысле его позиция напоминает (в некотором смысле Витгенштейновскую) естественную онтологическую позицию, за которую выступает Артур Файн в дебатах о реализме в философии науки.