Арифметическая прогрессия

Тема 9. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с некоторым числом. Это число называется разностью прогрессии. Таким образом,

где и соответственно n -й и n+1 -й члены прогрессии, d – разность прогрессии.

Примеры: 1) Последовательность всех натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, … есть арифметическая прогрессия с разностью d =1 и первым членом ;

2) Последовательность 7, 3, -1, -5, -9, -13, … есть арифметическая прогрессия с разностью d = -4 и первым членом .

Для вычисления можно использовать более удобную формулу

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

или .

Пример 1. В арифметической прогрессии 8, 12, 16, 20, 24, … первый член , разность d = 4, найти двадцатый член прогрессии и сумму первых двадцати членов.

Решение. Двадцатый член прогрессии равен .

Сумма первых двадцати членов равна

Ответ: 84; 920.

Пример 2. В арифметической прогрессии и . Найдите количество неотрицательных членов прогрессии, каждый из которых меньше 42.

Решение. Так как , , то значения и d можно найти, решив систему:

По условию , т.е. . Подставляем в формулу значения и d, затем выражаем из полученного неравенства значение n:

Количество целых чисел, принадлежащих данному промежутку, равно 48. Таким образом, количество членов прогрессии, удовлетворяющих условию задачи, равно 48.

Ответ: 48.

Пример 3. Найдите сумму всех целых чисел k, каждое из которых делится без остатка на 26 и удовлетворяет условию -339< k <443.

Решение. Первым числом, которое удовлетворяет этим условиям, является -338, а последним 442. Таким образом, требуется найти сумму k членов арифметической прогрессии, для которой , , d = 26. Найдём k, используя формулу . Получаем , отсюда k = 31. Тогда .