Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Тема занятия «Объем шара и его частей».

Цель: знать определения шара, шарового слоя, шарового сегмента, шарового сектора;

знать формулы для вычисления объема шара и его частей;

уметь решать задачи, применяя эти формулы.

План: 1. Повторение пройденного материала.

2. Новый материал.

3. Закрепление нового материала.

4. Домашнее задание.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями.

Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями.

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы.

И так, это все формулы для вычисления объёма шара и его частей, для использования их при решении задач.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача №3. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

Решение:

При вращении кругового сектора АОВ вокруг радиуса ОА получается тело вращения - шаровой сектор радиуса R=ОА и высотой сектора h=DA. Объем его вычисляется по формуле: V= (2/3)*πR²*h. Рассмотрим сечение этого сектора (смотри рисунок): в прямоугольном треугольнике ОВD (радиус круга ОА перпендикулярен хорде ВС) угол ВОD равен 60° (дано). Значит Тогда высота шарового сектора равна h=DA=OA-OD=R-R/2=R/2.
V=(2/3)*π*R²*R/2=(1/3)πR³.

Задача №4.

Задача №5. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Решение:

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара. Формула объема шарового сектора: V = (2/3)*πR²*h, где h - высота сегмента. В нашем случае R=H+h, где Н - высота конуса, а h- высота сегмента. Тогда h = R-H = 6-4 =2, так как Н = (1/3)*2*R (дано). Значит V = (2/3)*π*36*2 = 48π.
Ответ: Объем шарового сектора равен 48π.