Плоское напряженное состояние

В общем случае при переходе из одной точки в другую главные напряжения изменяются непрерывно по величине и направлению. Случай, когда одно из главных напряжений становится равным нулю, называют плоским (двухосным) напряженным состоянием в точке. В соседних точках тела напряженное состояние может быть пространственным (трехосным).

Встречаются и такие случаи, когда во всех точках тела напряженное состояние плоское и при этом площадки с нулевым главным напряжением параллельны друг другу. В таком случае все тело испытывает плоское напряженное состояние. Примером может служить пластинка, подверженная воздействию поверхностной и (или) объемной нагрузки, распределенной равномерно по толщине. При этом равны нулю главные напряжения на площадках в плоскости пластинки, а два других отличны от нуля и, вообще говоря, изменяются при переходе из одной точки в другую.

Три независимые скалярные величины, соответствующие составляющим напряжений, определяют тензор напряжений:

Для определения главных напряжений представляет интерес исследование напряжений, действующих лишь на площадках, перпендикулярных к главной площадке с нулевым главным напряжением. Рассмотрим прямую призму с основанием ВСD высотой dz (рис.4.2).

Уравнения равновесия запишем в виде проекции сил на направления σ _α и τ _α:

σ _αdzds – (σ _ydzds cosα) cosα– (τdzds cosα)sinα –– (σ _xdzds sinα) sinα – (τdzds sinα) cosα = 0,

τ _αdzds + (σ _ydzds cosα) sinα – (τ dzds cosα) cosα –– (σ _xdzds sinα) cosα + (τ dzds sinα) sinα= 0.

После сокращения на dzds и преобразо-вания получим

σ _α = σ _x sin²α + σ _y cos²α+τsin2α;

τ _α = (σ _x – σ _y)sin2α + τcos2α. Рис. 4.2

Чтобы определить положение главных площадок, следует либо приравнять нулю производную d σ _α/d α, либо положить равными нулю касательные напряжения τ _α ввиду их отсутствия на главных площадках. В обоих случаях

получаем следующее уравнение для угла наклона главных площадок (α₀):

(σ _x – σ _y) sin2α₀ + τcos2α₀ = 0,

откуда

tg2α₀= 2τ /(σ_у– σ_х),

чему соответствуют углы α₀′ и α₀′+ 90°, которые определяют две взаимно перпендикулярные площадки.

Исследуя вторую производную d² σ _α/d α², можно убедиться, что на главной площадке под углом α₀′ при σ _y >σ _x действует максимальное главное напряжение σ₁,а на площадке под углом α₀′+ 90° действует минимальное главное напряжение σ₂.

Для определения главных (экстремальных нормальных) напряжений отразим значение угла α₀ в выражении σ _α, используя при этом формулы для sin2α₀, соs2α₀, соs²α₀, sin²α₀, приведенные в п.3.4. В итоге

Если одно из напряжений σ_x или σ_y равно нулю, то формула примет вид

Экстремальные касательные напряжения можно выразить через главные напряжения: ± (σ₁− σ₂), что соответствует выражению

Они действуют на площадках, наклоненных к главным под углом 45° и направлены от σ_min к σ_max (рис.4.3). В общем случае на этих площадках σ _α ≠ 0.

Если оси х и у совмещены с главными осями 1 и 2, то

σ _α = σ₁sin²α + σ₂cos²α;

τ_α= (σ₁ − σ₂)sin2α.

При α = 45° и σ₂ = −σ₁ = −σ имеем τ _α = σ, σ _α = 0. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом, а площадки – площадками чистого сдви-га.

В случае σ₁ = σ₂ = σ на всех площадках, проходящих через исследуемую точку, τ _α = 0, σ _α = σ. Такое напряженное состояние называется равномерным двухосным растяжением (или сжатием). Рис. 4.3

При одноосном напряженном состоянии (σ₂ = σ₃ = 0) имеем

σ _α = σ₁sin²α; τ _α = σ₁sin2α.

Экстремальные касательные напряжения равны ± σ₁ /2.

4.3. Перемещения и деформации

Твердое тело, как правило, закреплено. В таком случае перемещение точки тела вызывается только его деформированием. Это перемещение характеризуется вектором с проекциями u, v, w на оси x, у, z, являющимися функциями координат: u = u (x, у, z), v = v (x, у, z), w = w (x, у, z). В силу сплошности тела эти функции и их частные производные требуемого порядка по x, у, z непрерывны, кроме, возможно, особых точек, линий или поверхностей.

Элементарный параллелепипед, вырезанный в окрестности какой-либо точки, деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями, т.е. изменяются объем и форма.

Для определения линейной деформации в точке А вдоль оси n (рис.4.4) возьмем в теле на этой оси малый отрезок АВ длиной ∆ l. После деформирования тела он обратится в отрезок А'В', составляющий с отрезком АВ угол ∆α, и будет иметь длину ∆ l'. Исходя из незначительного изменения геометрических характеристик тела в результате деформирования, можно считать Рис. 4.4

угловое перемещение (угол поворота) ∆α малым по сравнению с единицей, так что cos∆α ≈ 1. Величина ∆λ = ∆ l' – ∆ l представляет собой абсолютное изменение первоначальной длины отрезка АВ. Величина ∆λ/∆ l есть средняя линейная деформация вдоль оси n в точке А.

Уменьшая размеры отрезка, в пределе получаем

Безразмерная величина ε _n есть истинная линейная деформация вдоль оси n в точке А.

Полагая, что λ − непрерывная функция l, получим

ε _n = ∂ λ /∂ l.

Если λ зависит от одной переменной l, то

ε _n = d λ / dl.

Для определения деформации сдвига в точке А в плоскости mn возьмем на этой плоскости два малых отрезка АВ и АС, пересекающихся в точке А под углом 90°. После деформирования тела они обратятся в отрезки А'В' и А'С' с

иным углом пересечения и расположатся в другой плоскости m'n', составляющей с первоначальной угол ∆α. Принимая, как и раньше, cos∆α ≈ 1, определим деформацию сдвига как разность величин углов В'А'С' и ВАС. Наложим угол В'А'С' на угол ВАС (рис.4.5) и установим углы поворота отрезков относительно своих первоначальных положений – α₁ и α₂. Величина α₁+ α₂= γ _mn и есть деформация сдвига в точке А в плоскости mn.

Положительными принимают линейную деформа-цию, соответствующую растяжению, и деформацию сдвига, отвечающую уменьшению первоначального угла пересечения отрезков.

Полагая деформации малыми, мы можем в дальнейшем пренебрегать ими по сравнению с едини-цей, а также их высокими степенями по сравнению с первой степенью.

Рис. 4.5 Деформированное состояние в точке – состояние тела в окрестности данной точки, определяемое совокупностью деформаций всех линейных элементов, проходящих через данную точку. В случае малых деформаций оно полностью определяется линейными деформациями трех взаимно перпендикулярных линейных элементов тела, проходящих через данную точку, и тремя деформациями сдвига этих линейных элементов. Соответствующие шесть независимых скалярных величин определяют тензор деформаций:

Здесь

(при γ _yx =γ _xy),…Последнее оправдывается идентичностью трех ситуаций для грани деформированного параллелепипе-да, что видно, например, из рис. 4.6 (в плоскости xy).

Рис. 4.6

Главные оси деформации – три взаимно перпендикулярные прямые, прохо-дящие через данную точку тела и совпадающие по направлениям с такими тре-мялинейными элементами тела, которые остаются взаимно перпендикулярны-ми и после деформации. Линейные деформации по направлениям этих осей на-

зываются главными деформациями и обозначаются ε₁, ε₂, ε₃ (ε₁≥ ε₂ ≥ ε₃).

Кинематические граничные условия на части поверхности тела с заданным вектором перемещений имеют вид

4.4 Практикум

Примеры

1. По двум взаимно перпендикулярным площадкам действуют только касатель-ные напряжения τ (чистый сдвиг). Определить положение главных площадок и величины главных напряжений.

Решение: σ_гл.=0± = ± = ± τ.

Поскольку между главными напряжениями существу-ет соотношение σ₁ σ₂ σ₃, то расположив значения главных напряжений на числовой оси, установим:

σ₁>τ; σ₂>τ; σ₃>-τ;

tg2α_о= ; 2α_оarctg = 90 ; α_о=45

Повернув, на α_о= - 45 площадки по отношению к исходным получаем “глав-ные”. σ₁> 0, поэтому вектор растягивающего напряжения ориентируем от сечения, а вектор сжимающего σ₃к сечению. Знак минус таким образом реализован направлением вектора.