Методы поверочных расчетов

 

Рассмотренные модели разрушения имеют существенное значе­ние для разработки статистической теории хрупкого разрушения, по которой прочность тела целиком зависит от прочности наибо­лее дефектного элемента, а свойства первичных элементов подчи­няются некоторому распределению вероятностей.

Вернемся к условию предельного состояния материала в ло­кальной области

φ = φ _b,

которое, как было показано, можно представить в виде

σ _red = σ _b.

Условие невозникновения предельного состояния (условие прочности) в материале в рассматриваемой точке тела имеет фо­рму неравенства

σ _red < σ _b,

которое отражает сущность так называемого поверочного расчета. Это условие, однако, не адекватно условию безопасного состояния, что связано со следующими обстоятельствами: а) заданные нагрузки не вполне достоверны (могут быть перегрузки); б) спо­собы определения усилий в элементах конструкций сопряжены с некоторыми условностями; в) размеры сечений имеют некоторые до­пуски при изготовлении и могут меняться в течение срока службы конструкции (износ, коррозия и т.д.); г) величины, характеризу­ющие прочность и пластичность материала, могут быть разными для разных партий материала одной и той же категории; д) в не­которых случаях учет концентрации напряжений связан с рядом грубых допущений; е) необходимо считаться с особенностями дей­ствия динамических нагрузок и некоторыми другими факторами.

В целях соблюдения безопасности для каждой конструкции в условия прочности вводятся не величины σ _b, τ _b, а их доли, по­лучаемые делением на некоторое число n, называемое коэффициен­том запаса прочности (или коэффициентом безопасной прочности). Его можно представить в виде произведения частных коэффициен­тов запаса прочности, соответствующих каждому из приведенных выше обстоятельств.

Установлением величин коэффициентов запаса занимаются государствен-ные нормирующие органы, издающие соответствующие но­рмы, которыми и руководствуются при расчетах сооружений.

Напряжения, получаемые делением σ _b (τ _b) на n, называются допускаемыми и обозначаются σ _adm (τ _adm).

Таким образом, условие безопасной прочности (надежности) по методу допускаемых напряжений в общем случае записывается в следующем виде:

 σ _red ≤ σ _adm,

а в частных случаях:

σ _b ≤ σ _adm;

τ _b ≤ τ _adm.

Коэффициенты, вводимые в нормы, основаны на результатах эксперимен-тов и имеют вероятностную сущность. Рассмотрим условие

φ ≤ φ _b

и будем считать φ случайной величиной. Положим далее, что кри­вая распределения φ каким-то образом определена. Тогда по ин­тегральной кривой распределения P _φ можно найти квантиль φ _b ве­роятности N выполнения неравенства φ ≤ φ _b (рис.6.3). Эту веро­ятность можно назвать надежно-                Рис. 6.3

стью конструкции по отношению к рассматриваемому условию. Очевидно, надежность N должна быть близ­кой к единице.

Обратимся к формуле

σ _b – σ = s,

где σ _b – предельное напряжение, являющееся случайной величиной; σ – случайные напряжения в нагруженном элементе; s – резерв прочности.

Необходимым требованием является условие положительности резерва прочности, т.е. условие невозникновения предельного состояния: s > 0.

По формулам теории вероятностей при учете, что σ _b иσ–независимые случайные величины, можно найти центр распределе­ния  и дисперсию резерва прочности :

    .

Коэффициент запаса прочности определим как отношение цен­тров распределения σ _b и σ, т.е.

Если предельным состоянием материала в локальной области
является хрупкое разрушение, то это может представить опасность для всей конструкции в силу развития области разрушения. В этой ситуации использо-вание метода допускаемых напряжений является вполне обоснованным.

Если же предельным состоянием материала в локальной обла­сти является наступление текучести, то разрастание охваченной ею области возможно лишь при снятии стеснения со стороны мате­риала, находящегося в упругом состоянии. Именно поэтому расчет по допускаемым напряжениям в случае пластического состояния материала не является совершенным, поскольку предельное состо­яние материала в окрестности точки не представляет опасности для всей конструкции.

В этом случае более совершенным является метод разрушаю­щих нагрузок. В качестве условия безопасной прочности ставится требование, чтобы наибольшая нагрузка на конструкцию не превы­шала некоторой допускаемой нагрузки N_adm, которая равна разру­шающей нагрузке, деленной на коэффициент запаса прочности n >1. Этот коэффициент принимается на основе соображений, аналогич­ных рассмотренным в методе допускаемых напряжений.

Расчет по разрушающим нагрузкам был внедрен в нашей стра­не в 1938 г. применительно к строительным конструкциям. Это приблизило результаты расчета к фактической несущей способно­сти конструкций, но не дало исчерпывающего представления о степени их надежности.

Естественным завершением инженерного поиска в этом напра­влении был переход к методу расчета по предельным состояниям, который был осуществлен в нашей стране в 1955 г. по предложению Н.С.Стрелецкого. Этот метод положен в основу отечественных норм проектирования строительных конструкций.

Согласно ему предельным считается состояние, при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требова­ниям. Современные отечественные нормы проектирования отмечают две группы предельных состояний. Первая группа квалифицирует непригодность конструкции к эксплуатации по причине потери не­сущей способности, вторая − непригодность к эксплуатации по другим причинам, таким, как чрезмерные деформации, образование и чрезмерное раскрытие трещин.

Расчет по первой группе предельных состояний обеспечивает надежность конструкции в отношении хрупкого, вязкого и иного вида разрушения, потери устойчивого равновесия.

Расчет по второй группе предельных состояний производится по двум условиям:

1) перемещения элемента конструкции под нагрузкой не дол­жны превышать предельного значения, определяемого нормами;

2) трещиностойкость конструкции должна быть обеспечена на соответствующем уровне в зависимости от условий, в которых она работает; речь идет о недопущении образования трещин или допускаемых ограничениях по ширине их непродолжительного и продол­жительного раскрытия.

Поверочный расчет конструкции по предельным состояниям основывается на условии

φ ≤ φ _cal,

где φ _cal – расчетный фактор, отклоняющийся от предельного значения φ _b.

Важным преимуществом нового метода является отказ от детерминистического подхода к нагрузкам и механическим свойствам материалов, выявление их вероятностной природы.

Наиболее часто повторяющаяся нагрузка называется нормативной (N_n). Она устанавливается нормами с учетом вероятности превышения ее среднего значения. Наибольшая нагрузка, которая может проявиться за время существования конструкции, называет­ся расчетной (N) и вычисляется по формуле

N = N_n γ _f,

где γ _f – коэффициент надежности по нагрузке.

В случае нагрузки от собственной массы γ _f = 1,05...1,3 (в зависимости от вида материала конструкции и условий его изго­товления); в случае снеговой нагрузки γ _f = 1,4...1,6. В ряде случаев коэффициент γ_f может быть меньше 1, если это ухудшает условия работы конструкций. Например, в целях предотвращения потери равновесия тела, вызываемой опрокидыванием или скольже­нием, принимают для собственной массы γ _f = 0,9. Коэффициент на­дежности по нагрузке при расчете по второй группе предельных состояний принимается, как правило, равным единице.

Нормативное сопротивление R_n материала силовым воздей­ствиям определяется экспериментально путем выборочных испыта­ний образцов стандартных размеров и отражает по существу бра­ковочный минимум прочностных свойств материала. Вероятность, с которой обеспечивается нормативное сопротивление, должна со­ставлять не менее 95%. В зависимости от механических свойств величина R_n принимается по пределу текучести или по временному сопротивлению.

Наименьшая возможная величина сопротивления материала называется расчетным сопротивлением R, причем

R = R_n / γ _m,

где γ _m – коэффициент надежности по материалу.

Коэффициент γ _m учитывает изменчивость механических свойств материала и минусовые допуски при производстве элемен­тов конструкций. Он лежит в пределах 1,025...1,3.

Назовем остальные коэффициенты метода расчета по предель­ным состояниям. Коэффициент условий работы γ _c учитывает влия­ние конкретных условий работы конструкции, например, прибли­женный характер расчетных схем, условность предпосылок расче­та, агрессивность среды и другие факторы.

Коэффициент надежности по назначению γ _n учитывает степень ответствен-ности конструкции и значимость последствий наступле­ния тех или иных предельных состояний.

Как правило, на конструкцию действует несколько нагрузок. Вместе с тем их одновременное действие при наибольших величи­нах маловероятно. Например, трудно предположить одновременно ураганный ветер, наибольшую снеговую нагрузку и максимальную полезную нагрузку на конструкции здания. С целью приближения вводимых нагрузок к реальности используется коэффициент соче­таний n_c <1.

Метод расчета по предельным состояниям, основанный на глубоком изучении степени нагружения и экспериментально-теоре­тическом исследова-нии действительной несущей способности кон­струкций, обеспечивает бóль-шую степень их надежности, чем ме­тод допускаемых напряжений или метод разрушающих нагрузок. Ши­рокие перспективы для снижения материалоемкос-ти конструкций открывает систематизация статистических данных по вопросам те­хнологии изготовления (возведения) и эксплуатации конструкций (сооруже-ний).

                                                 6.4 Практикум

1.  Что понимают под “предельным состоянием”?

2.  Какие прочностные характеристики для хрупкого материала, а какие

 для пластичного соответствуют предельному состоянию?

3.  Как устанавливают предельное состояние в случае простых напряжён-ных состояний (растяжение, сдвиг)?

4.  Какие два различных по своей сути напряжённых состояния полагают эквивалентными?

5.  Перечислите классические категории предельного состояния.

6.  В чём состоит задача механики разрушения?

7.  Почему критерий предельного состояния О.Мора применим для оцен-ки прочности и хрупких и пластичных материалов?

8.  Что должен учитывать коэффициент запаса прочности?

9.  Можно ли произвольно принимать величину коэффициента запаса прочности? К чему приводит его завышение?

10. Что понимают под “допускаемым напряжениям” σ_adm?

      11. Как записывается условие безопасной прочности в общем случае и в случае простых напряжённых состояний?

      12. Какой метод оценки безопасной прочности положен в основу отечес-твенных норм строительного проектирования?

13. Назовите группы предельных состояний?

14. В чём методологическое отличие метода расчёта по предельным сос-тояниям от метода расчёта по допускаемым напряжениям?

                 РАЗДЕЛ II. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-              

           ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ БРУСЬЕВ И ИХ          

                                            ПРОЕКТИРОВАНИЕ

РАСТЯЖЕНИЕ СЖАТИЕ

Основные предпосылки

 

Брус и стержень моделируют обширный класс конструктивных элементов. Излагая в главе 2 метод сечений применительно к брусу, мы установили для него систему внутренних сил в попе­речном сечении и соответствующие виды деформаций.

Три группы уравнений, содержащиеся в главах 4, 5, по­зволяют в пределах принятых допущений составить представление о напряженно-деформированном состоянии брусьев. Наблюдения и эксперименты создали предпосылки для упрощения их расчета. В числе дополнительных гипотез в первую очередь следует назвать гипотезу плоских сечений – гипотезу Бернулли, впервые выска­занную швейцарским ученым-математиком Я.Бернулли.

Возьмем для большей наглядности процесса деформирования резиновый брус с нанесенным рядом поперечных прямых линий на рис. 7.1, а. Растянув брус, мы увидим, что расстояния между линиями увеличились, но са­ми они, оставаясь прямыми, не изменили поперечного направления (рис. 7.1, б). Остались неразрывными кон­туры обозначенных сечений. Можно предполо-жить также, что и внутри бруса будет такая же картина, т.е. поперечные сече-ния, плоские и нормальные к его оси до          

            Рис. 7.1                        деформации, остаются плос­кими и нор-мальными к оси и после деформации.

Наблюдения показывают отклонения от описанной ситуации на небольших участках бруса вблизи точек приложения сил. В том случае, когда внешние силы равномерно распределены по площади торцов (рис. 7.1, в), гипотеза плоских сечений выполняется стро­го (становится законом плоских сечений).

Гипотеза сохраняет силу при чистом изгибе бруса, когда он нагружен изгибающими моментами по торцам, а также при кручении бруса круглого сечения. В последнем случае сечение, кроме то­го, представляют как жесткое целое (гипотеза плоских и жестких сечений). Гипотеза неприменима для отдельных категорий тонко­стенных стержней при определенных видах деформаций.

Возникает вопрос о влиянии упомянутых отклонений (неплос­ких сечений) на характер напряженного состояния. В связи с этим обратимся к принципу

Сен-Венана, который гласит: в точках тела на некотором расстоянии Н от грузовой площадки, достаточ­но большом по сравнению с ее размерами, напряжения не меняются от замены заданной нагрузки другой, статически эквивалентной (т.е. имеющей ту же равнодействующую в смысле ее величины, на­правления и точки приложения).

Размеры поперечного сечения стержня малы по сравнению с его длиной. Поэтому любую нагрузку на торцах стержня можно за­менить другой статически эквивалентной нагрузкой. Такая замена отразится лишь на напряжениях в небольшой зоне стержня длиной Н, прилегающей к его торцам. Длина зон Н принимается равной наибольшему размеру поперечного сечения.

Следовательно, картина напряжений в случае отклонения от гипотезы плоских сечений (рис. 7.1, б) ощутимо не меняется в ос­новном объеме бруса по сравнению со случаем ее строгого соблю­дения (рис. 7.1, в). Это обстоятельство значительно упрощает ус­тановление закономерностей деформирования брусьев и стержней и расширяет область их применимости.

Отметим, что применительно к брусьям гипотеза плоских се­чений заменяет собой условия совместности деформаций, представляемые уравнениями Сен-Венана.

Еще одна гипотеза принимается для брусьев и стержней, в которых возникают только нормальные напряжения. Предполагает­ся, что волокна не оказывают давления друг на друга, т.е. на­пряжения в направлении, перпендикулярном оси бруса (стержня), равны нулю. Следовательно, каждый слой испытывает одноосное растяжение или сжатие.

В дальнейшем брус будем представлять состоящим из воло­кон, под которыми будем понимать материальные линии со сколь угодно малым поперечным сечением, которое считается недеформи­руемым.