Модели предельного состояния в локальной области

 

До сих пор мы рассматривали по существу законы деформиро­вания твер-дого тела. Они являются основой инженерных расчетов, направленных на создание прочных и экономичных конструкций. При установлении условий безопасной прочности необходимо знать прежде всего условия предельного (опасного) состояния материала конструкции.

Модели схематизируют сложный процесс образования предель­ного состояния, зависящий от действующих напряжений и свойств материала (пластичности или хрупкости), характера нагружения и целого ряда других факторов. Они могут быть представлены в де­терминированной (вполне обусловленной) или статистической (ве­роятностной) формах.

Принимаемые нами ограничения состоят в следующем: матери­ал считается изотропным, нагружение предполагается простым, статическим, температура образца и окружающей среды – комнат­ной, не учитывается эффект длитель-ного действия нагрузки.

Предельное состояние связано с качественным изменением свойств матери-ала. Для хрупкого материала этому состоянию со­ответствует начало разруше-ния (появление трещин), для пластич­ного – появление остаточных деформа-ций. Соответственно этому предельным напряжением σ _b для хрупкого материа-ла является вре­менное сопротивление σ _u (τ _u) для пластичного – предел текуче­сти σ _y (τ _y).

В связи с этим требуется решить вопрос о том, на какой площадке и при каких напряжениях возникает предельное состоя­ние в точке. В случае одноос-ного напряженного состояния или чистого сдвига этот вопрос решается опыт-ным путем. На диаграм­ме растяжения (сжатия, сдвига) устанавливается харак-терная точка, соответствующая предельному состоянию данного материа­ла.

При плоском и пространственном напряженных состояниях деформирова-ние материала происходит при наличии соответственно двух или трех главных напряжений, для которых число возможных соотношений неисчерпаемо. Неисчерпаемо и число опытов, необходимых для выявления предельных значений напряжений. Проведение таких испытаний требует сложных машин и приборов, огромных за­трат времени.

Указанные обстоятельства приводят к необходимости созда­ния такой методики расчета, которая позволяла бы оценивать прочность материала при любом варианте напряженного состояния, используя результаты опытов при одноосном напряженном состоя­нии. При этом вводится предположение, что два каких-либо на­пряженных состояния считаются эквивалентными, если при пропор­циональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз они одновременно становятся предельными. В качестве этало­на (эквивалента)

принимается одноосное напряженное состояние как наиболее эксперименталь-но изученное. Предполагается, что предельное напряженное состояние лежит на границе применимости закона Гука.

Существенным элементом модели предельного состояния явля­ется принятый критерий разрушения материала или возникновения в нем состояния текучести, который считается одинаковым при всех возможных напряженных состояниях. Предполагается, что им является некоторый фактор φ, имеющий механическую природу и количественную оценку. Таким фактором может явиться, например, напряжение, деформация, удельная потенциальная энергия дефор­мации. Значение φ, которое соответствует наступлению предель­ного состояния материала, будем называть предельным (опасным) и обозначать φ _b. Оно может быть определено по результатам опы­та с образцом в условиях одноосного напряженного состояния или чистого сдвига.

Таким образом, условие предельного состояния материала в локальной области имеет следующее выражение:

φ = φ _b.

Его можно записать в главных напряжениях:

φ(σ₁, σ₂, σ₃) = φ(σ _b).

При существенном влиянии скорости деформации на напряженно-деформированное состояние упомянутое условие должно содержать в качестве аргумента время.

Оценки степени удачности предложенного критерия и сужде­ние о допустимости применения его на практике производят по результатам экспериментов с образцами, испытываемыми в услови­ях пространственного или плоского напряженного состояния.

В условиях предельного состояния пластичных материалов используют критерии появления пластических деформаций, рассмотренные в п. 5.6.

При пространственном напряженном состоянии возможен слу­чай равномерного (гидростатического) растяжения (сжатия):

σ _x = σ _y = σ _z = σ.

В таком случае, исходя из критериев наибольших касательных напряжений и удельной энергии изменения формы, можно предположить, что материал должен выдерживать весьма большие (теорети­чески – бесконечно большие) нагрузки, так как при этом τ= 0. И если этот вывод хорошо согласуется с опытами на все­стороннее равномерное сжатие, то в случае такого же рода ра­стяжения он не соответствует физическому смыслу прочности. В связи с этим модели предельного состояния должны быть дополне­ны ограничениями по наибольшим растягивающим напряжениям.

Для хрупких материалов используется критерий наибольших нормальных напряжений, выдвинутый в XVII в. итальянским уче­ным Г.Галилеем: предельное состояние материала наступает, ко­гда какое-либо из главных напряжений достигает величины пре­дельного напряжения при одноосном напряженном состоянии.

Обозначив σ _bt (σ _bc) предельное напряжение на растяжение
(сжатие), запишем три случая предельного состояния:

 а) если σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ ≥ 0, то σ₁ = σ _{b t};

б) если σ₁ > 0, σ₃ < 0, то σ₁ = σ _{b t}, σ₃ = σ _bc;

в) если 0 ≥ σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃, то σ₃ = σ _bc.

На рис.6.1 изображен квадрат, который можно рассматривать как предельный контур в случае плоского напряженного состояния в плоскости σ₁σ₃. Точки внут-ри контура образуют область, безопас-ную в отношении возникновения предельного состояния.

В то же время опыты с хрупкими ма-териалами показывают, что при сжатии предель­ное состояние наступает на площад-                                       ках с наибольшими касательными напряже-                Рис.6.1

ниями. Как извест­но, в этом случае применимо соотношение τ _b = σ _bc /2. Поэтому предельный контур во втором и четвертом квадрантах должен приниматься с учетом штриховых линий σ₃ = = σ₁ ± σ _bc.

Рассмотренные три категории предельного состояния называ­ются классическими. К ним примыкает и критерий наибольших линейных деформаций, предложенный Э.Мариоттом и окончательно оформленный А.Сен-Венаном в середине XIX в. Этот критерий имеет лишь историческое значение, так как в силу малой согласованности с опытными данными он практически не используется.

Выявленные недостатки классических критериев потребовали от ученых поиска путей их корректировки. В 1900 г. немецкий ученый

О.Мор предложил условие предельного состояния в виде

σ₁ – m σ₃ = σ _bt,

где m = σ _bt /σ _bc. Это условие отражено штрихпунктирной линией на рис. 6.1.

При m = 1 критерий Мора совпадает с критерием наибольших касательных напряжений. Опыты, проведенные для оценки достоверности критерия Мора, дали наилучшие результаты при σ₁ > 0 и σ₃ < 0. В силу неучета влияния напряжения σ₂на возникновение предельного состояния материала в окрестности точки тела погрешности (до 17%) оказываются неминуемыми.

Ту же идею преследовал П.П. Баландин, обобщая энергетичес­кий критерий:

В определенном диапазоне напряженных состояний этот критерий дает удовлетворительные результаты.

Н.Н. Давиденков выдвинул идею о наличии у каждого матери­ала двух хара-

ктеристик сопротивления – отрыву и срезу. Для хрупкого поведения их соотно-шение меньше единицы, для пластич­ного поведения – больше единицы. Под влиянием этой идеи Я.Б.Фридман внес на рассмотрение модель, отражающую по возмож­ности основные факторы, влияющие на возникновение хрупкого разрушения или начала текучести, а также на разрушение вслед­ствие среза, наступающего в конце пластической стадии работы материала. Работа над этой моделью представляется перспектив­ной областью исследования.

При наличии концентраторов или большой изменяемости поля напряжений в критериях предельного состояния должны найти отражение не только уровни напряжений, но и их градиенты.

 

Модели разрушения

 

В последние десятилетия на смену соглашению, по которому прочность материала в составе несущей конструкции полностью определяется напряженным состоянием, а разрушение представляет собой мгновенный акт, пришло представление о разрушении как о процессе, по существу начинающемся с начала существования материала.

Начало современной теории разрушения относится к 20-м го­дам ХХ в. и связано с именем английского инженера А. Гриффитса. Была открыта фундаментальная роль трещин в снижении проч­ности твердого тела. Почти в то же время были обнаружены дефе­кты структуры кристаллических решеток – дислокации. Уже две соединившиеся дислокации таят в себе зародышевую микротрещину. Выяснилась глубокая связь дислокаций с процессами пластическо­го деформирования твердых тел – кристаллитов и поликристал­литов. Пластичность и разрушение как бы сливаются в единый процесс.

Механизм разрушения весьма сложен. Взаимодействие процес­сов, проходящих на разных масштабных уровнях структуры тела, приводит к эффектам, не предусмотренным классическими критери­ями предельного состояния. В связи с этим в механике твердого тела появилась самостоятельная ветвь – механика разрушения, занимающаяся изучением закономерностей образования и развития трещин.

Задача механики разрушения – указать причины, приводящие к снижению прочности, способы их нейтрализации, методы контро­ля материалов в процессе изготовления, приемки и эксплуатации в составе несущих конструк-ций, методы прогнозирования прочно­сти материалов с микроскопическими де-фектами. Механика разру­шения устанавливает также критерии рационального конструирова­ния материалов – слоистых, армированных, микронеоднородных, обладающих повышенным сопротивлением к распространению трещин.

Решающую роль в процессе разрушения играют микронапряже­ния, существующие в твердом теле при отсутствии внешних сил и взаимно уравновешенные в объемах, малых по сравнению с объемом тела. Они связаны с микронеоднородностью и микроанизотропией структуры. Большое влияние на поле микронапряжений оказывает деформация, особенно пластическая, осуществляемая движением дислокаций по кристаллографическим плоскостям и характеризующаяся неравномерностью по объему тела. Это приводит к развитию неравномерности распределения микродеформаций и микронапря-жений. Последние, будучи локализованными, могут достигать уров­ня теорети-ческой прочности материала. Появление столь мощных концентраторов энер-гии вызывает образование микротрещин, число и размеры которых в процессе пластического деформирования ра­стут.

Накопление повреждений (пластическое разрыхление) являет­ся первой стадией разрушения, роль и временная протяженность которой могут быть разными. При разрушении хрупких материалов ею можно пренебречь, но для таких видов разрушения, как уста­лостное или вязкое, стадия накопления повреждений может ока­заться основной.

Образование начальной трещины регулируется двумя фактора­ми: средним уровнем напряжений (осредненными напряжениями, определяющими минимальный энергетический барьер, после преодоления которого может возникнуть трещина) и накопленной энерги­ей микронапряжений в определен-ной области. Если на преодоление энергетического барьера расходуется энер-гия микронапряжений, то следует полагать, что за поддержание образова-вшейся трещины в раскрытом состоянии ответственны осредненные напряже-ния.

Последующий рост трещины облегчается тем, что она создает концентрацию напряжений у своего края, которая, с одной сторо­ны, усиливает пластическое разрыхление, а с другой – позволяет трещине по мере ее распространения черпать энергию упругой де­формации тела из области, размеры которой пропорциональны раз­меру трещины.

Переход ко второму, заключительному этапу разрушения –распространению "магистральной" трещины – происходит на фоне образования множества трещин, одновременный рост которых неустойчив из-за недостатка для всех энергии. В конце концов разгружающее влияние наиболее быстро растущей трещины подавляет их развитие. Заканчиваются активные процессы деформирования окружающего объема, насыщения его дислокациями.

Происходит их концентрация вблизи одной поверхности, разделяющей тело на две части. Основной поток энергии идет на разрыв межатомных свя­зей. Разрушение представляется либо абсолютно хрупким, либо квазихрупким, т.е. ложно хрупким (с незначительной ролью пластической деформации).

Гриффитс ввел критерий распространения трещины, основан­ный на учете поверхностной энергии. Считается, что если высвобождающаяся при возможном росте трещин энергия меньше энергии, необходимой для образования новых поверхностей, то в таких ус­ловиях трещина расти не может. В противном случае она растет.

В этом утверждении содержится и формулировка новой модели упругого тела: в упругий потенциал, кроме энергии деформации, входит энергия, сосредоточенная на поверхностях, ограничивающих сплошную среду. Предполагается, что эти поверхности могут лишь расти, в результате чего поверхностная энергия оказывает­ся необратимой. Таким образом, состояние тела определяется не только его деформацией, но и указанными поверхностями. Тело по-прежнему считается упругим, для него справедлив принцип возможной работы.

Используя его, Гриффитс решил следующую задачу. Бесконечная хрупкая пластинка единичной толщины растягивается в одном направлении при равномерно                                                                                                                                                                                         

распре­деленном на бесконечности напряжении σ (рис.6.2). В теле имеется плоская трещина размером l в                Рис.6.2                                                                                                   

 пло­скости пластины, расположенная перпендикулярно к направлению растяжения. Требуется найти критическое значение напряжения σ _cr, при достижении которого размер трещины начинает увеличиваться.

При изменении длины трещины на δ l увеличивается поверх­ность ее берегов на δ s, вследствие чего поверхностная энергия увеличивается на δ А _{δ s}. При этом, как говорилось выше, потенци­альная энергия деформации уменьшается. Таким образом

или

Появлению трещины сопутствует поверхностная энергия, рав­ная

Здесь 2 l ∙1 – суммарная площадь берегов трещины; γ– поверхно­стное натяжение.

 

 

Изменение потенциальной энергии деформации принимают в области, в которой напряжения ощутимо отличаются от поля на­пряжений пластинки без трещины. Поскольку толщина пластинки равна единице, то эту энергию вычисляют по площади, которая принимается равной l ².

В итоге

где k – коэффициент, получаемый из решения задачи о пластинке с заданной выемкой.

После подстановки выражений A_δs и U в исходное уравнение и дифференцирования получаем

откуда

Если, наоборот, напряжение задано, то можно найти крити­ческую длину трещины:

Теория Гриффитса дает обоснование масштабному коэффициен­ту, наблюдаемому при хрупком разрушении. Ведь вероятность существования трещины, длина которой превышает критическую, в теле значительного объема больше, чем в теле малых размеров. Поэтому при соблюдении закона подобия разрушающее напряжение для образцов малого размера выше, чем для больших образцов.

Экспериментальная проверка теории Гриффитса дала удовлетворительные результаты лишь в случае твердых аморфных материа­лов, каким является, например, стекло в естественных условиях. Недостаточная универсальность модели Гриффитса проявляется в предопределенности существования достаточно большой трещины и невозможности возникновения новых, а также в нераспространении ее на упругопластическое тело.

Последнее затруднение в определенной мере снимают идеи Дж. Ирвина и Е.Орована. Предлагается опускать процесс пластиче­ской деформации у края трещины и вместо собственно поверхност­ной энергии, находящей отражение в величине γ в задаче Гриффитса, вводить "эффективную поверхностную энергию", включающую все затраты на рост трещины, в том числе и энергию пластичес­ких деформаций у ее края. При этом упругопластическое тело представляется как линейно-упругое, но обладающее повышенной поверхностной энергией.

Рассмотренные модели лежат в основе так называемой линей­ной механики разрушения. Полученные за последнее время резуль­таты исследований в рамках моделей нелинейно-упругого, упругопластического и вязкоупругого тел составляют нелинейную механику разрушения. Дальнейшее совершенствование моделей разруше­ния состоит в учете поверхностной энергии при исследовании деформирования тела. Еще бóльшие перспективы открывает переход к дискретной модели строения твердого тела, рассмотрению межато­много взаимодействия, что выходит за рамки изучаемого курса.