Определение 1. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых из условия следует условие (), т.е. большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и её производная всюду на интервале , то строго возрастает на . Если функция непрерывна на отрезке и её производная всюду на интервале , то строго убывает на .
Определение 2. Пусть функция , определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует её окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (), причём знак равенства имеет место лишь в случае .
Точки максимума и минимума называют точками экстремума.
Теорема 2 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е.
В точках, в которых производная не существует, может быть или максимум, или минимум, но может ни быть, ни того, ни другого.
|
|
Значения аргумента, при которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Теорема 3(достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум. Если же при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.
Пример 1. Исследуйте на экстремум функцию .
Решение. Имеем:
Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. Результаты исследования сведены в таблицу:
x | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
возрастает | убывает | возрастает |
Ответ: .
Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке данная функция принимает и своё наибольшее, и своё наименьшее значения.
Для того чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке , нужно:
1) найти производную данной функции;
2) найти критические точки;
3) вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка;
4) из всех найденных значений выбрать наибольшее (наименьшее).
Пример 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
|
|
Решение. Находим производную и критические точки . Определяем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.
Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшее -18.
Ответ: 2; -18.
Задачи.
1. Сумма целых значений , принадлежащих промежутку (или промежуткам) убывания функции равна
1) -2
2) 9
3) 7
4) -5
5) 11
6) -3
7) 8
8) 0
2. Длина интервала возрастания функции равна
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 7
6) 8
7) 10
8) 12
3. Точкой максимума функции является точка , равная
1) 0
2) 1
3) -1
4) 0,5
5) -0,5
6) 0,75
7) -0,75
8) 2
4. Определите точку минимума функции .
1) 2
2) 7
3) 11
4) 8
5) 9
6) 5
7) 1
8) 0
5. Найдите максимум функции
6. Найдите минимум функции
7. Сумма наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [-3;1] равна
1) 9,5
2) -5,5
3) 4,5
4) -9,5
5) 5,5
6) 3
7) 0
8) 4
8. Сумма наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [1;3] равна
1) 9
2) 14
3) 5
4) 0
5) -5
6) -9
7) 3
8) 4
9. Наименьшее значение функции на отрезке [-3;8] равно
1) -10
2) 10
3) -25
4) -28
5) 5
6) 1
7) -11
8) -26
9) -5
10) -27
11) -3
12) -1
10. Наибольшее значение функции на отрезке [0;3] равно
1) 1
2) 12
3) 13
4) 14
5) 15
6) 16
7) 3
8) 2