2020-06-29
154
Функция 
называется бесконечно малой величиной при 
, если её предел равен 0, т.е. 
. Например, 
; 
, если 
: 
.
Теорема. Если 
, то 
где 
– бесконечно малая при 
.
По условию 
. Это значит, что для любого, 
что для всех 
и удовлетворяющих 
верно 
. Обозначив 
, получим 
. Это означает, что 
– бесконечно малая при 
.
Обратная теорема. Если 
(бесконечно малой), то 
.
По условию . Т.к. 
- бесконечно малая при 
, то 
, что для всех 
и удовлетворяющих 
верно 
.
это означает, что 
.
Свойства бесконечно малых величин:
1. Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой величины на константу есть величина бесконечно малая.
3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от 0, есть величина бесконечно малая.
Замечание. Пусть 
и 
две бесконечно малые величины. В этом случае их отношение 
называется неопределенностью 
и требует дальнейших вычислений.
Сравнение бесконечных малых.
Пусть имеется несколько бесконечно малых величин 
|
|
|
1. Если 
имеет конечный и не равный нулю предел, т.е. 
и 
, то бесконечно малые 
и 
называются бесконечно малыми одного порядка малости.
Пример. 
, x и 
– бесконечно малые одного порядка.
.
2. Если 
, то есть 
(а 
), то 
называют бесконечно малой величиной высшего порядка малости, чем бесконечно малая 
, 
– бесконечно малая низшего порядка, чем 
. Запись 
– 
есть 0 малое от 
.
Пример. 
, 
– бесконечно малая величина высшего порядка, чем 
.
3. Если 
, то 
– бесконечно малая 
-го порядка относительно бесконечно малой 
.
Пример. 
есть бесконечно малая 3 порядка относительно , т.к.
.
4. Если 
, то α и β называются эквивалентными (равносильными) бесконечно малыми.
при 
Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены отношения заменить равносильными им величинами.
Пример. 
