Пусть дана функция , возьмем значение аргумента x и зададим ему приращение , это вызовет приращение функции .
Производная: , т.к. при различных значениях x производная различна, – функция аргумента x, т.е. .
Пример. Вычислим производную . Пусть x получил приращение , тогда ; ; т.е. .
Свойства производной
1) Производная , , , .
Пусть и – две функции, имеющие производные.
2) ;
.
3)
, т.е.
.
4). .
5) .
Производная сложной и обратной функций
Сложная функция
Пусть задана функция и функция , тогда называется сложной функцией.
Пример. ; ; ; ; ; и т.д.
Пусть эти функции – дифференцируемые. Пусть x получил приращение , тогда функции и получают приращение и . Рассмотрим . Перейдем к пределу (если , то ): .
Обратная функция
Пусть , будем считать y за аргумент, а x – за функцию. Тогда – обратная функция, может быть многозначной.
-обратная, – двузначная функция и т.д.
Если – монотонная функция, то существует непрерывная обратная функция . . Перейдя к пределу: или .
Производные тригонометрических функций
а)
Воспользуемся схемой нахождения производной:
; ;
;
(учли первый замечательный предел и непрерывность функции ).
Итак, и .
б) ; ;
и .
в) ;
;
т.е.
и .
г) ; ;
; .
Производная обратных тригонометрических функций
а) , где и .
Обратная функция имеет вид , причем , если .
Используем правила дифференцирования обратной функции
.
При производная не существует.
Итак, и .
б) Поскольку , то ; .
Аналогично, ; .
; .