Сечение плоскостью параллельной оси цилиндра

Практическая работа №15

Тема. Цилиндр. Конус. Шар. Сфера. Симметрия тел вращения.

Цель работы: отработать умение использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач

Порядок выполнения работы:

1. Повторить теоретические материал по теме работы

2. Ознакомиться с заданиями своего варианта.

3. Выполнить задания своего варианта.

4. Оформить работу и сделать вывод

Теоретическая часть

Цилиндр

Понятие цилиндра как тела вращения

Определение. Тело, ограниченное двумя кругами и цилиндрической поверхностью, называется цилиндром.

Такой цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон. Полученное таким образом тело – это прямой круговой цилиндр

На рисунке цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AD. При этом: сторона BC составляет множество параллельных образующих, а стороны AB и CD описывают два одинаковых круга.

Очевидно, что, если прямоугольник вращать вокруг стороны AB, получится другой цилиндр.

Изображение и элементы цилиндра

Множество образующих составляет цилиндрическую поверхность.

Образующие перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому высота цилиндра

h = OO₁ равна образующей.

Точки O и O₁ – центры оснований. Через эти точки проходит ось цилиндра.

Нижнее и верхнее основания – равные круги радиуса r. Радиус основания называется радиусом цилиндра.

1.3. Сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра

Это сечение, проходящее через ось цилиндра. Фигурой сечения в этом случае будет прямоугольник. Т.е. осевым сечением цилиндра является прямоугольник (на

рисунке прямоугольник ABCD заштрихован и изображен в виде параллелограмма). Стороны прямоугольника: AB = 2r, AD = h.

Тогда: площадь осевого сечения цилиндра

Сечение плоскостью параллельной оси цилиндра

Сечением здесь также будет прямоугольник (ABCD). Причем, чем дальше от оси строится сечение, тем меньший (более узкий) прямоугольник получается.

Расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости обозначается d. Расстоянием от прямой до плоскости считается длина перпендикуляра, опущенного из любой точки этой прямой на плоскость. На рисунке для наглядности в качестве такой точки выбрана точка О₁. Тогда в плоскости верхнего основания опускаем перпендикуляр на сторону CD. Он попадет в середину CD, т.к. ΔCO₁D является равнобедренным (высота, опущенная из вершины, является и медианой). Тогда: d = O₁K

Площадь сечения в этом случае: S_{сечения} = S_ABCD = AD ∙ CD, AD = h. Длину отрезка CD ищем из ΔCO₁D.

Наклонное сечение

Здесь фигуры сечения могут получаться разные. Это зависит от того, в каком месте проходит секущая плоскость, и под каким углом наклонена. Если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, сечением будет круг радиуса r цилиндра.

На рисунке сечение проходит через отрезок BC в верхнем основании и через точку A в нижнем основании. Заштрихованная фигура сечения похожа на часть листка. Точки A и B, A и C соединяются дугами. Строить такие сечения не будем, но есть общая формула, которая связывает площадь сечения и площадь его проекции. Построив проекцию сечения на плоскость нижнего основания, получим часть круга, ограниченную отрезком C₁B₁.

Тогда: где φ – угол наклона секущей плоскости к основанию.