Полная поверхность цилиндра состоит из площадей двух оснований и площади боковой (цилиндрической) поверхности, т.е. Sцил = 2 Sосн + Sбок. пов., при этом
где r – радиус цилиндра.
Чтобы найти площадь боковой поверхности, сделаем ее развертку. Для этого «разрежем» боковую поверхность цилиндра по образующей и развернем. Несложно догадаться, что получим прямоугольник.
Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра, а другая равна длине окружности, которая «опоясывает» основание.
Тогда: Sбок. пов = 2π r ∙ h Имеем:
Решение задач
Задача 1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16π, диаметр основания - 8. Найдите высоту цилиндра.
Решение. . Ответ: 2
Задача 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 56π, высота – 7. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Решение. . Значит, необходимо найти радиус основания (или диаметр). тогда . Ответ: 56 кв. ед.
Задача 3. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20см.
Найти: а) высоту цилиндра, б) площадь основания цилиндра.
Дано: цилиндр
Осевое сечение: ABCD – квадрат, BD = 20см
Найти: 1) h 2) Sосн
Решение:
1) h из ΔABD: AD = AB
2) Sосн = Ответ: см, Sосн = 50π см2
Задача 4. Высота цилиндра равна 10м. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной от нее на 9м, равна 240 м2. Найти радиус цилиндра.
Дано: цилиндр, h = 10м
ABCD – сечение, Sсеч = SABCD = 240 м2
d = O1K = 9м
Найти: r
Решение:
1) r = O1D из ΔDO1K:
O1D2 = DK2 + O1K2, DK -?
2) DK: из SABCD = 240
AD ∙ DC = 240, AD = h =10, DC = 24, DK = 12
3) Ответ: 15м
Задача 5. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см2. Найти радиус основания и высоту цилиндра.
В этой задаче рисунок делать не нужно. Она алгебраическая.
Дано: цилиндр, r
h = (r + 12) см Sцил = 288π см2 Найти: r, h
Решение: пусть радиус – это x (x >0, т.к. это физическая величина). Тогда h = x + 12
Подставим обозначения в формулу: Sцил =
Sцил = 2π x (x + x + 12), 288π = 2π (2x2 + 12x) Сократив уравнение на 2π, имеем:
первый корень не удовлетворяет условию x >0. Тогда: r = 6, h = 18 Ответ: r = 6см, h = 18см
Сфера и шар
Определения
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данное расстояние – это радиус сферы R, данная точка – центр сферы O.
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, является ее радиусом. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр – диаметр. Очевидно, что диаметр равен 2R.
Шар – это тело, ограниченное сферой. Шар изображается так же, как сфера.
Сфера как тело вращения получается вращением полуокружности вокруг диаметра. Шар – вращением полукруга.
Уравнение сферы
Если поместить сферу в систему координат, можно получить уравнение сферы.
По аналогии с уравнением окружности:
Уравнение окружности:
где x0 и y0 – координаты центра окружности точки С: С(x0; y0), R – радиус окружности.
Если координаты точки М(x, y) удовлетворяют уравнению, значит, точка М лежит на окружности. (Удовлетворяют – значит, при подстановке координат в уравнение получается верное числовое равенство.)
Для сферы уравнение похожее, только мы переходим от плоскости к пространству, т.е. появится еще одна координата.
Уравнение сферы: ,
где x0, y0, z0 – координаты центра сферы: С(x0; y0. z0), R – радиус сферы.
Например: 1) Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке C, если C (2; -3; 7), R = 3: ;
2) Определите координаты центра и радиус сферы, если она задана уравнением ;
3) Напишите уравнение сферы с центром С (0; 0; 0), проходящей через точку M (5; 3; 1).
Решение. Координаты точки M удовлетворяют уравнению сферы; подставляем их в общий вид уравнения:
. Тогда уравнение сферы имеет вид:
№1. 1) Доказать, что приведенное уравнение является уравнением сферы. 2)Найти координаты центра и радиус; г)
Чтобы доказать 1), нужно привести это уравнение к виду .
Для этого придется воспользоваться методом выделения полного квадрата.
Тогда: доказано
2)