Я делаю – и я понимаю

20.05.2020                     

Урок №103-104

Тема: Тригонометрические тождества.

Цели урока:

Тема: тригонометрические тождества

Цели:

- применение основного тригонометрического тождества к доказательству тождеств и упрощению выражений;

- формирование самостоятельного мышления, мыслительных операций: анализа, сравнения, обобщения, аналогий.

 

Тригонометрическое тождество – это равенство, состоящее из тригонометрических соотношений, справедливое для всех допустимых значений входящих в него углов.

3. Историческая справка (слайд 5-7)

Тригонометрия возникла в древности, как один из разделов астрономии. Древнегреческий ученый Птолемей (100-147 гг.) первым в своей книге «Альмагест» записал ряд тригонометрических сведений.

 

Также вклад в тригонометрию внесли ученые Среднего и Ближнего Востока, среди которых Абу-р-Райхан ал-Бируни (973-1048 гг.). Развитие тригонометрии продолжалось в Европе в 14-15 вв. на пороге 17 века тригонометрия стала развиваться аналитически. Основоположником

теории тригонометрических функций считают Леонарда Эйлера (1707-1783 гг.) –

члена Петербургской академии наук.

 

Я слышу – и я забываю,

Я вижу – и я запоминаю,

Я делаю – и я понимаю.

Китайская мудрость

Сегодня на уроке мы ответим на вопрос: какие формулы показывают связь между остальными тригонометрическими величинами, т.е. тангенсом и синусом, тангенсом и котангенсом, косинусом и тангенсом.

Слайд 1: «Математическое лото». 1. Переведите в градусную меру угол: а) π; б) ; в) ; г) ; д) 2. Переведите в радианную меру угол: а) 90º             б) – 180º            в) 360º        г) – 270º    д) 720º 3. Дайте определение sin α, cos α, tg α, ctg α. 4. Вычислите: а)        б) в) 4сos 90º – 8sin 30º г) ctg260º + 2 5. Какое из чисел больше 0? а) sin 340º   б) cos (–120º)       в) sin 50º     г) tg 170º 6. Какие из выражений не имеют смысла? а) sin 90º     б) cos 0º               в) tg 90º        г) ctg 0º   А Б В Г Д Е Ж З 1 3 π     sin50º - 720º 4 π     2     абсцисса       1   3           45º 4   – 4 180º – π ctg0 5         2 π       6     cos 0º   tg90º   sin90º   7 –36º       30º       8   cos(-120º)       90º   9     –60º   ордината     tg170º 10         cos α   1 4

sin2 α + cos2 α = 1 cos α ≠ 0, sin α ≠ 0, α ≠ πn, tg α ∙ ctg α = 1 , 1. Упростите выражение: а) 1 – sin2 x = cos2 x б) cos2 β – 1 = – sin2 β в) tg x ∙ ctg x + 4 = 5 г) cosα ∙ tgα = sinα д) (1 – cos x)(1 + cos x) = 1 – cos2 x = sin2 x е) sin2 α+ 2sinα ∙ cosα + cos2 α = (sinα + cosα)2 2. Выразите через sin 2α: a) (1 – cos2 α) + sin2 α = 2sin2 α б) 3) Выразите через tgα: a)       б) Способы доказательства тождеств: - преобразование правой части к левой; - преобразование левой части к правой; - установление того, что разность между правой и левой частями равна нулю; - преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению. - Рассмотрим задачи. sin2 α + ctg2 α + cos2 α = 1 + ctg2 α = = Что и требовалось доказать.

Задача 2. Доказать тождество cos2 α = (1 – sin α)(1 + sin α). Доказательство: (1 – sinα)(1 + sin α) = 1 – sin2 α = cos2 α cos2α = cos2α Что и требовалось доказать. Задача 3. Доказать тождество: Доказательство: = = = 0=0. Что и требовалось доказать. Задача 4. Доказать тождество: Доказательство: Что и требовалось доказать.

1. Самостоятельная работа.

Вариант 1	Вариант 2
1.Упростите выражение: tg cos а) sin б)ctg в)cos г)tg 2.Вычислите: а)0 б) в)1 г) 3.Решите уравнение: sinx=1 а) б) в) г). 4.Упростите выражение: а)sin б)cos в)sin -cos г) cos -sin 5.Запишите решение. Вычислите:	1.Упростите выражение: ctg sin а) sin б)ctg в)cos г)tg 2.Вычислите: а)0 б) в)1 г) 3.Решите уравнение: cosx=1 а) б) в) г). 4.Упростите выражение: а)sin б)cos в)sin -cos г) cos -sin 5.Запишите решение. Вычислите:

Литература.

1.Алгебра и начала анализа. 10-11класс. Ш.А. Алимов и другие. Москва, «Просвещение», 2014.

Домашнее задание: §26, №456 (1,3), 466 (1,3), 467 (1).

.