Предположим, что исследуемый устанавливающийся режим энергосистемы рассчитан, координаты (Р0, δ 0) изображающей точки а (рис. 2.7) соответственно определены, а электромеханические переходные процессы описываются системой, представленной дифференциальным и алгебраическим уравнениями:
Рис. 2.7. Линеаризация угловой характеристики мощности в изображающей точке исследуемого режима.
Представим угол δ как , где Δ δ - малое приращение угла в окрестности точки а, и преобразуем левую часть дифференциального уравнения системы (1.81) с учетом этого равенства, приведя ее к виду:
Из последнего равенства следует, что при линеаризации второй производной «в малом», достаточно дифференцируемую функцию заменить ее малым линейным приращением. Это же справедливо для производных по времени любого порядка.
В правой части рассматриваемого уравнения приращение ΔР0 постоянной величины Р0 равно нулю, а приращение переменной Р обозначается как ΔР, т.е.
С учетом этих замечаний в результате линеаризации «в малом» первого уравнения системы (1.81) получим линейное уравнение:
в котором в качестве переменных выступают не параметры режима Р и δ, а их малые линейные приращения Δ Р и Δ δ.
При линеаризации второго уравнения системы (1.81) следует нелинейную зависимость Р(δ) заменить линейной зависимостью Δ Р( Δ δ) в окрестности точки а.
Представим Р(δ) как Р (δ 0 + Δ δ) и разложим в общем виде эту функцию в ряд Тейлора:
Ограничимся рассмотрением линейной части этого ряда, из которой вычтем значение функции Р (δ 0 )=Р0 в точке а. В результате получим искомую зависимость Δ Р( Δ δ): или
Отметим, что производная dP/dδ представлена в уравнении (1.86) своим численным значением в точке а и поэтому выступает здесь не как функция dP/dδ, δ = δ 0, а как коэффициент линейной зависимости Δ Р( Δ δ). Поэтому линейная зависимость вида (1.86) может быть получена и без предварительного разложения линеаризуемой функции в ряд Тейлора на основании рис. 2.7. Эта зависимость полностью соответствует формулам записи полного дифференциала функции, что позволяет формализовать и тем самым упростить операции по линеаризации «в малом».
Уравнения (1.83, 1.86) образуют искомую систему, которая при исключении переменной Δ Р приводится к одному уравнению:
Этим уравнением описываются свободные колебания малого линейного приращения Δ δ угла δ ротора генератора в окрестности рассматриваемой точки а (см. рис 2.7).
Для выявления тенденции изменения переменной Δ δ рассмотрим варианты общего решения уравнения (1.88): где С1, С2 - постоянные интегрирования, а р1, р2 - корни характеристического уравнения: определяемые как
В случае, когда dP/dδ < 0 корни p 12= ± α - вещественные, и общее решение представляет собой сумму двух экспоненциальных составляющих:
Как видно, с течением времени t составляющая возрастает, а сос-тавляющая убывает (рис. 2.8).
Рис. 2.8. Составляющие решения (1.92) уравнения (1.88).
В целом же малое приращение Δ δ угла δ имеет тенденцию к возрастанию, что является признаком неустойчивости энергосистемы. При этом нарушение устойчивости, то есть переход ротора генератора в асинхронный режим по отношению к генераторам приемной энергосистемы, происходит в виде «сползания» без периодических изменений угла.
Этот вид нарушения статической устойчивости называется апериодичес-ким или неустойчивостью по «сползанию».
В случае, когда dP/dδ > О корни - мнимые сопряженные, и общее решение (1.89) представляется в виде:
В этом случае постоянные интегрирования С 1и С 2 являются комплексно-сопряженными величинами, то есть:
С учетом (1.94) на основе известного преобразования Эйлера решение (1.93) может быть представлено в виде двух гармонических составляющих:
(1.95)
Сделаем замену и преобразуем решение (1.95)
к более удобному для анализа виду:
(1.96)
где - частота свободных колебаний линейного приращения угла.
Из (1.96) следует, что изменение малого линейного приращения угла происходит по закону незатухающих гармонических колебаний с постоянной амплитудой (рис. 2.9). Это свидетельствует об устойчивости исследуемого установившегося режима, так как отсутствует тенденция к возрастанию амплитуды свободных колебаний рассматриваемого параметра режима.
Таким образом, устойчивым режимам энергосистемы соответствует условие dP/dδ > О. Такой же результат был получен ранее на основе логических рассуждений. Период Т возникающих при этом условии свободных колебаний линейного приращения угла определяется как:
(1.97)
Рис. 2.9. Решение (1.96) уравнения (1.88).
При dP/dδ→0 имеем Т→∞. Следовательно, максимум угловой характеристики Р (δ) является границей перехода незатухающих свободных колебаний малого линейного приращения угла к его апериодическому возрастанию, указывающему на апериодическое нарушение статической устойчивости генератора.
Следует отметить, что при учёте процессов в демпферных контурах и системе автоматического регулирования возбуждения генератора определение корней характеристического уравнения является весьма сложной задачей. При анализе устойчивости в таких случаях используются методы, не требующие нахождения корней характеристического уравнения.
17. Линеаризация (от лат. linearis — линейный) — один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, либо для определенных процессов, причём, если система переходит с одного режима работы на другой, следует изменить и её линеаризированную модель. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.
Методы линеаризации
1. Метод логарифмирования — применяется к степенным функциям;
2. Метод обратного преобразования — для дробных функций;
3. Комплексный метод — для дробных и степенных функций.