2020-07-01
88Попробуем оценить число дней, за которые вирус переходит от заражённого человека к человеку доселе незаражённому.
Введение
На рис. 1 изображён график зависимости числа инфицированных вирусом (официально подтвержденных) в нашей стране от числа дней. Число инфицированных обозначается символом N, номер дня - символом n. Отчёт начинается со 7-го марта. Для этого дня n = 0. Число зараженных в этот день обозначается далее как N0, оно было равно 11. Последний день, учтённый на графике, - 19 апреля, для него n = 43. График построен в Excel. Источник данных:
 |
https://yandex.ru/maps/covid19?ll=41.775580%2C54.894027&utm_source=main_title&z=3.
Говорят: экспоненциальный рост. Попробуем разобраться, так ли это? А если да, что можно извлечь из этого роста?
Математическая справка
Экспоненциальная зависимость для нашего случая выразится формулой
(1)
где e – основание натуральных логарифмов, β – некоторый коэффициент.
Если мы вычислим натуральный логарифм N, то обнаружим, что он является линейной функцией своего аргумента n:
|
|
|
. (2)
График зависимости LnN от n представляет прямую линию с угловым коэффициентом равным β, причем, на оси ординат отсекается отрезок равный LnN0.
Вспомним ещё одну математическую штуковину: для любого 
справедливо равенство 
.
Задача № 1
Чтобы выполнить оценку числа дней, решим несколько задач. Условие первой приводится ниже. Искомое число дней будем обозначать символом τ.
Пусть в начальный момент времени число зараженных равно N0. Для описания процесса пандемии исходим из упрощенной модели (модель «цепной реакции»): каждый зараженный каждый день передаёт вирус новым, до этого дня незараженным, человекам, число которых равно a. Найдите число N зараженных через n дней. Представьте полученную зависимость в виде экспоненциальной, т.е. подобной формуле (1), и выразите коэффициент β через параметр a.
О числе "а"
Обратим внимание на смысл числа a. Это число новых заражений, сделанных за день одним ранее инфицированным. Допустим a = 5, тогда оценочно можно считать, что зараженный передаёт вирус незараженному человеку в среднем за 
дня. Таким образом, чтобы оценить число дней, за которые вирус переходит от инфицированного человека к неинфицированному (будем обозначать это число символом τ), необходимо найти значение а из реальных данных. Искомое число дней определится по формуле
. (3)
Реальные данные
|
|
|
 |
На рис. 2 приводится график зависимости числа N инфицированных вирусом в России от числа дней для промежутка времени с 7 марта по 24 мая. Напоминаем, для 7 марта n = 0. На рис. 3 показана построенная с помощью Excel зависимость LnN от n для указанного периода времени.
 |
Зависимость LnN от n на рассматриваемом промежутке времени не является линейной. Однако на отдельных временных участках эта зависимость может быть хорошо аппроксимирована соответствующей линейной функцией. А значит, на этих участках применима формула (1) и для оценочных расчетов можно исходить из упрощенной модели «цепной реакции».
Начальный этап 7.03-25.03
Обратимся к начальному этапу пандемии в России, а именно, к промежутку времени с 7-го по 25-е марта. График зависимости числа N от числа дней для этого участка показан на рис. 4. Зависимость LnN от n можно видеть на рис. 5. На рисунках приводятся параметры экспоненциального и линейного трендов соответственно, а также величина достоверности аппроксимации, найденные с помощью средств Excel. Итак, с хорошим значением достоверности коэффициент β в формуле (1) для указанного периода времени равен 0,2323, а значение N0 с точностью до 0,2% совпадает с реальным числом инфицированных 7 марта.
 |
Если вы решили задачу №1, то переходим к задачке №2.
Задача № 2
На основе решения задачи №1, используя значение β = 0,2323, найдите оценочное число дней τ, за которые вирус переходил от инфицированного человека к неинфицированному в период с 7.03 по 25.03.
Предварительный расчет приводит к ответу: τ = 3,8 дня. Однако этот расчет мог содержать ошибку. Для проверки решите задачку №2 самостоятельно.
Продолжение следует….
