Национальный исследовательский ядерный университет
(МИФИ)
Экзаменационные вопросы по линейной алгебре
для студентов 2-ого семестра
Лектор - Сандаков Е.Б.
1.Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.
2.Теорема об элементарных преобразованиях матрицы. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.
3.Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы. Критерий равенства нулю определителя.
4.Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Теорема Крамера.
5.Метод Гаусса исследования систем линейных уравнений.
6.Критерий совместности систем линейных алгебраических уравнений. (Теорема Кронекера-Капелли).
7.Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Свойства их решений. Критерий наличия ненулевых решений. Фундаментальные системы решений. Общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.
8.Общее решение совместной неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
|
|
9.Определение линейного пространства действительного и комплексного. Единственность нулевого и противоположного элементов и их представления. Примеры линейных пространств.
10.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости. Достаточные условия линейной зависимости.
11.Два определения базиса пространства и их эквивалентность. Размерность пространства. Конечномерные и бесконечномерные пространства. Теорема о связи базиса и размерности линейного пространства.
12.Линейные оболочки системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.
13.Координаты вектора в данном базисе. Координаты суммы векторов, произведения вектора на число.
14.Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому. Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
15.Определение подпространства линейного пространства. Примеры подпространств. Линейные оболочки системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.
16.Определение пересечения и суммы подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.
17.Изоморфизм линейных пространств.
18.Прямая сумма подпространств. Теорема о необходимом и достаточном условии, при котором сумма двух подпространств является прямой. Следствия из этой теоремы.
19.Евклидовы и унитарные пространства. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Линейные нормированные пространства. Неравенство треугольника. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника в различных пространствах.
20.Ортонормированная система. Ортонормированный базис. Существование О.Н.Б. (Теорема Шмидта об ортогонализации).
|
|
21.Изоморфизм унитарных пространств.
22.Ортогональные подмножества унитарного пространства. Ортогональное дополнение подмножества. Теорема о разложении унитарного пространства в прямую сумму подпространств. Следствия.
23.Понятие линейного оператора и основные операции над ними. Примеры линейных операторов. Линейное пространство L(х,у).
24.Образ и ядро линейного оператора. Теорема о сумме размерностей образа и ядра оператора. Обратная теорема.
25.Обратный оператор и его свойства. Критерий обратимости линейного оператора.
26.Матрица линейного оператора. Представление линейного оператора в данном базисе при помощи матрицы. Матрица суммы операторов, произведения оператора на число, произведения операторов и обратного оператора. Примеры.
27.Преобразование матрицы оператора при переходе от одного базиса к другому. Определитель линейного оператора.
28.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение. Теорема о нахождении собственных векторов линейного оператора. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения и связь между ними.
29.Инвариантное подпространство относительно оператора А. Примеры. Свойства собственных векторов линейного оператора.
30.Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Два критерия диагонализируемости матрицы линейного оператора. Практический способ приведения матрицы к диагональному виду.
31.Линейные формы в линейном пространстве. Сопряжённое пространство, его размерность. Преобразование коэффициентов линейной формы при переходе к новому базису.
32.Билинейные формы в действительном линейном пространстве, их представление через координаты. Разложение билинейной формы на сумму симметричных и кососимметричных составляющих. Матрица билинейной формы.
33.Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.
34.Квадратичные формы в линейном пространстве. Полярная билинейная форма. Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом Лагранжа.
35.Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.(без док-ва)
З6.Закон инерции квадратичных форм.
37.Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра.
38.Полуторалинейные (билинейные) формы. Введение скалярного произведения с помощью полуторалинейной формы.
39.Представление линейной формы в унитарном пространстве.
40.Представление полуторалинейной формы в унитарном пространстве.
41.Понятие сопряжённого оператора и его свойства. Матрица сопряжённого оператора.
42.Понятие нормального оператора и его свойства.
43.Понятие унитарного (ортогонального) оператора и его свойства.
44.Свойства унитарных (ортогональных) матриц.
45.Основная спектральная теорема нормальных операторов.
4б.Связь между нормальными, самосопряжёнными и унитарными операторами.
47.Основная спектральная теорема самосопряжённых операторов.
48.Основная спектральная теорема унитарных операторов.
49.Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду унитарным преобразованием.
50. Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду.
51. Пучок квадратичных форм. Характеристическое уравнение пучка. Теорема о практическом методе одновременного приведения двух квадратичных форм к каноническому виду (без доказательства).