Тема 9. Поняття похідної. Похідні функцій, заданих явно, неявно, параметрично

План

1. Задачі, які привели до поняття похідної.

2. Означення похідної та її геометричний зміст.

3. Зв’язок диференційованості функції з неперервністю.

4. Основні правила диференціювання.

5. Таблиця похідних.

6. Поняття диференціала функції та його застосування до наближених обчислень. Геометричний зміст диференціалу.

7. Похідні вищих порядків.

8. Функція задана наявно та її похідна.

9. Похідна степенево-показникової функції.

10. Похідна функції, заданої параметрично.

Задачі, які привели до поняття похідної

21

Задача про швидкість прямолінійного руху.

Нехай тіло рухається прямолінійно вздовж осі Os, але нерівномірно. Тоді координата S точки буде змінюватися з часом за деяким законом, тобто S=s(t). Починаючи з деякого моменту t за час ∆t тіло пройде шлях ∆S = s(t + ∆t) – s(t). Середня швидкість  за проміжок часу ∆t буде .

Середня швидкість дає лише наближене уявлення про рух в окремі моменти часу. Так, на початку проміжку ∆t тіло могло рухатися прискорено, а в кінці цього проміжку – уповільнено. Коли проміжок часу ∆t зменшується, тоді  наближається до швидкості руху в момент t. Що відповідає початку проміжку ∆t.

Миттєвою швидкістю V (або швидкістю в момент t) називають границю відношення приросту шляху ∆S до приросту часу ∆t, коли ∆t →0, тобто

Миттєва швидкість V залежить від часу t, а також від вигляду функції S = S(t).