1. , где или – нечетное натуральное число (например, )
Пример.
2. , где – четные. Используем формулы понижения степени
Пример.
3. где (т.е. ). Используем формулы
Пример.
4. . Понижение показателя с использованием формул
Пример.
5. где Понижение степени с использованием формул:
и т.д.
Пример.
+c,
Где
6.
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
7. , где .
Подстановка .
Пример.
8. , где .
Подстановка ,
Пример.
Интегрирование иррациональных функций.
I. .
Замена , –общий знаменатель (Н.О.К. ).
Пример.
II.
Замена
Пример.
III. .
Выделив полный квадрат, получим интеграл одного из видов:
a)
Замена
Пример.
b) .
Замена .
Пример.
c) .
Замена
Пример.
Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции:
(«неберущиеся» интегралы).
Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование неправильных рациональных дробей.
Рациональная дробь
где
Опр. Рациональная дробь называется правильной, если .
Опр. Рациональная дробь называется неправильной, если .
Пусть – неправильная дробь. Разделим с остатком на , т.е. представим в виде , где – многочлен степени , степень многочлена меньше . Тогда , где – правильная рациональная дробь.
Пример.
Разложение многочлена на множители. Пусть
Тогда
(1.3.1)
где – корни многочлена кратности соответственно,
.
Пример.
.
Простейшие рациональные дроби.
Опр. Простейшими называют рациональные дроби одного из следующих видов:
1.
2.
3.
4.