Площадь полной поверхности призмы

Задача 1

В правильной n -угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы, если n = 3, h = 15 см, a = 10 см. См. рис. 6.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – призма, АА₁ ⊥ АВС, h =АА₁= 15см, АВ= BC = CA = a = 10 см.

Найти: S_бок, S_полн.

Рис. 6

Решение:

По условию призма прямая. Значит, ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания и равно высоте призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на высоту. Найдем площадь боковой поверхности.

S_бок = P_осн∙ h = P_АВС∙ АА₁= 3 ∙ АВ ∙ h = 3 ∙ 10 ∙ 15 = 450 (см²).

В основании призмы лежит правильный треугольник АВС. Найдем его площадь.

(см²)

Площадь полной поверхности призмы – это площадь всех ее граней, то есть площадь боковой поверхности плюс площади двух оснований. Значит:

(см²).

Ответ: (см²).

Задача 2

Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см. Перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найти площадь боковой поверхности.

Дано: призма ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 7), АА₁= 12 см, перпендикулярное сечение – ромб со стороной 5 см.

Найти: S_бок

Рис. 7

Решение:

Известно, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

По условию, перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Все стороны ромба равны. Значит, периметр перпендикулярного сечения равен см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

(см²).

Ответ: 240 см².

Задача 3

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы. См. рис. 8.

Дано:ABCDA₁B₁C₁D₁ – призма, AA₁ ⊥ ABC, AB ∥ CD, CB = AD, AB = 9 см, CD = 25 см,

h_трап = 8 см.

Найти: двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Рис. 8

Решение:

Вспомним, что такое двугранный угол. Пусть у нас есть две полуплоскости α и β, которые пересекаются по прямой СC₁ (рис. 9). Тогда они образовывают двугранный угол с ребром СC₁. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Как строится линейный угол? Берется произвольная точка M на ребре, и проводятся два перпендикуляра: один перпендикуляр в плоскости β – перпендикуляр b, второй перпендикуляр в плоскости α – перпендикуляр a. Тогда угол между прямыми a и b и будет линейным углом двугранного угла.

Рис. 9

Найдем линейный угол при ребре СС₁. Так как ребро СC₁ перпендикулярно всей плоскости ABC, то ребро СC₁ перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, в том числе прямым BC и CD. Тогда угол между прямыми BC и CD, а именно угол DCB, является линейным углом двугранного угла при ребре СC₁.

Аналогичным образом, получаем, что линейные угол при ребре АА₁ – это угол ВAD, при ребре DD₁ – ∠ ADC, при ребре BB₁ – ∠ ABC. Все эти углы являются углами трапеции ABCD. Найдем их градусную меру.

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 10). Проведем высоты АН и КВ. По условию, высота трапеции равна 8 см. Значит, АН = КВ = 8 см.

Рис. 10

Найдем НК. Прямые АН и КВ перпендикулярны одной и той же прямой DC. Значит, прямые АН и КВ параллельны. Так как АН = КВ, то АНКВ – параллелограмм. Значит, НК = АВ = 9 см.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то см.

Рассмотрим треугольник DHA. Он прямоугольный, так как АН ⊥ DC и равнобедренный, так как АН = DH. Значит, ∠HAD=∠HDA = 45° градусов.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ∠DCB=∠СDA = 45°, ∠DAB=∠ABC = 180° - 45° = 135°.

Ответ: 45°, 45°, 135°, 135°.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 кл. М.: Просвещение, 2014 г.

2. Математика. Задачник: учеб для студ. учреждений сред. проф. Образования / М.И.Башмаков. – 5-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2018.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В правильной треугольной призме сторона основания равна 8 см и высота равна 12 см. Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы.

Задача 2. У параллелепипеда три грани имеют площади 1 см², 2 см², 3 см². Чему равна полная поверхность параллелепипеда?

Задача 3. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 10 см. Перпендикулярным сечением является ромб со стороной 4 см. Найти площадь боковой поверхности.

Задача 4. Найдите площадь полной поверхности правильной n -угольной призмы, если любое ребро этой призмы равно а. а) n= 3; б) n= 4.

Задача . Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы – 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы.

Тема 2. Пирамида. Правильная пирамида.

Познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник А₁А₂... А_n, который лежит в плоскости α, и точку P, которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А₁, А₂, А₃, … А_n. Получим n треугольников: А₁А₂Р, А₂А₃Р и так далее.

Определение. Многогранник РА₁А₂…А_n, составленный из n -угольника А₁А₂... А_n и n треугольников РА₁А₂, РА₂А₃ … РА_nА_n _-1, называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.