Дефиниции и методы определения кепстров

Согласно исходной дефиниции кепстр мощности определен выражением

 

                                                                 (4.41)

в котором (двусторонний) спектр мощности S_AA(f) сигнала a (t)задан выражением

                                       (4.42)

причем штрихом отмечено усреднение по ансамблю определенного числа реализаций (усреднение осуществляется по мере надобности).

С учетом новой и используемой в настоящее времени дефиниции определяющее кепстр мощности выражение имеет вид

                                             (4.43)

Ниже будет показана целесообразность применения соответствующего аналитического сигнала, определяемого на основе логарифма (одностороннего) спектра мощности T_AA (f)по выражению

                                              (4.44)

где Г_AА(f) = 2 log S_AA (f), при  f > 0; Г_AА(f) = log S_AA (f),  при   f = 0; Г_AА(f) = 0, при    f <0.

Современные спектроанализаторы определяют кепстры на основе выражения (4.44). Отметим, что действительная часть Ĉ_АА (τ)идентична С_АА (τ), определенному выражением (4.42).

При сравнении выражений (4.41) и (4.43) вопрос о прямом или обратном преобразовании Фурье носит лишь формальный характер. Так как спектр мощности S_AA (f)является вещественной четной функцией, кепстр мощности также является вещественной функцией. Следовательно, прямое и обратное преобразования Фурье дают идентичные результаты (однако при применении дискретного преобразования Фурье учитываются отличающиеся друг от друга масштабные коэффициенты). Единое различие заключается в определяемой выражением (4.41) операции возведения в квадрат, которая обусловливает необратимость соответствующего процесса и придание наибольшего веса наибольшим значениям. Такое взвешивание не всегда целесообразно, так как наибольшие значения обычно соответствуют наименьшим значениям квефренции и часто менее важны чем значения, присущие средним и большим значениям квефренции. Обратное преобразование Фурье в выражении (4.43) упрощает как связь кепстра с автокорреляционной функцией, так и переход от функции частоты к функции времени. Следовательно, параметр  в выражениях (4.41) и (4.43) по существу является параметром с размерностью времени, несмотря на его название «квефренцией». В случае автокорреляционной функции параметр  также является параметром с размерностью времени, но его нужно рассматривать как параметр задержки (или параметр периодичности), а не как параметр абсолютного времени.

Комплексный кепстр определен выражением

                                        (4.45)

в котором А(f) является комплексным спектром сигнала a (t), т.е.

при представлении с помощью действительной и мнимой частей (см. выражение (4.40)) или

                                  ( 4.46)

при представлении с помощью модуля (абсолютного значения) и фазового угла.

В результате (комплексного) логарифмического преобразования выражения (4.46) получается выражение

                             (4.47)

Определенная выражением (4.47) комплексная функция частоты, действительная и мнимая части которой образованы соответственно логарифмом амплитуды и фазовым углом, подвергается при применении выражения (4.45) обратному преобразованию Фурье, в результате которого получается комплексный кепстр.

Нужно подчеркнуть, что в случае действительно значимого сигнала a (t), т.е. в большинстве практических ситуаций, комплексный спектр A(f) является сопряженной четной функцией, откуда следует: А_R (f)является четной функцией, A₁ (f) является нечетной функцией; |A(f)| является четной функцией, ln |A (f) | является четной функцией и ln (f)является нечетной функцией.

Следовательно, 1оgА (f)является сопряженной четной функцией, а комплексный кепстр С_А (τ)является вещественной функцией, несмотря на в его названии – комплексный кепстр.

 

СВОЙСТВА КЕПСТРОВ

Ранее (см, рис. 4.33) был рассмотрен пример, иллюстрирующий возможность обнаружения с помощью кепстра периодических составляющих логарифма соответствующего спектра, например, серий гармоник и/или равномерно распределенных боковых полос, которые не обнаруживаются на спектральной характеристике сигнала.

Рис.4.34. Модель сигнала с эхом, созданная путем свертки

Появление боковых полос в кепстре (серии гармоник) периодичности логарифма спектра может быть присутствие эха в несущем сигнале. На рис. 4.34 показана модель сигнала с эхом, созданная путем свертки исходного сигнала (рис. 4.34 а) с двумя дельта-функциями (рис. 4.34 б), т.е. с единичным импульсом в начале и с соответствующим ослаблению и временной задержке эха бесконечно узким импульсом с уменьшенной амплитудой в соответствующей моменту τ точке. Согласно теоремы свертки, спектр показанного на рис. 4.34 в сигнала с эхом равен произведению спектров соответственно исходного сигнала (рис. 4.34 а) и образуемого двумя дельта-функциями сигнала (рис. 4.34 б). Упомянутый последним спектр можно определить на основе аналогии с комплексным сигналом во временной области, обладающим тем же спектром.  На рис. 4.34 г показано, что такой сигнал образован составляющей постоянного тока с единичной амплитудой и фазором, вращающимся с пропорциональной τ скоростью (т.е. с периодом 1/τ в области изображений). Амплитуда, отображающая упомянутый сигнал, (комплексной) функции периодически изменяется вокруг равного единице среднего значения и ее фазовый угол периодически изменяется вокруг нулевого значения. Умножение на эту функцию равносильно сложению логарифма спектра с периодической функцией и аналогичному сложению фазового угла с другой периодической функцией с тем же периодом. Сказанное иллюстрирует рис. 4.35, на котором показан отклик механической конструкции на повторяющиеся удары. В присутствии эха (в результате двукратного удара) как логарифмический спектр амплитуды, так и фазовый спектр имеют периодический характер, причем частота этой периодичности (18,8 Гц) соответствует временной задержке эха (53 мс). При этом импульсный сигнал возбуждения с эхом – второй импульс с временной задержкой 53 мс  (см. рис. 4.35 б) в            отклике системы на импульсное возбуждение  (второго импульса – эхо) почти незаметно.

 

 

Рис. 4.35. Пример сигналов с эхом в механической системе

 

Присущие сигналу возбуждения и сигналу отклика кепстры мощности показаны на рис. 4.36.  Легко видеть, что эху соответствует пик при соответствующей временной задержке квефренции (и несколько рагмоник с малыми амплитудами). На рис. 4.36 также показаны соответствующие автокорреляционные функции, предусмотренные для сравнения и подтверждающие их малую эффективность при обнаружении эха в сигнале. Другим важным свойством кепстров, способствующим их широкому практическому применению, является обеспечиваемая ими возможность выделения эффектов, связанных с источниками и путями распространения сигналов, т.е. возможность «разложения свертки». Это важное свойство кепстров подробно рассматривается ниже. Связь между сигналами на входе и выходе идеальной физической системы можно во временной области описать выражением

b (t) = a (t) h (t)                                                     ( 4.48)

В частотной области и с учетом комплексных спектров эта связь определена выражением

B (f) = A (f) H (f)                                                (4.49)

Рис. 4.36. Спектр амплитуды сигнала возбуждения и амплитуды отклика системы в логарифмическом масштабе (периодичность с интервалами 18,8 Гц соответствует равной 53 мс временной задержке эха

 

или - с учетом спектров мощности - выражением

S_BB (f) = S_AA (f) |H (f) |²                                              (4.50)

Путем логарифмического преобразования выражения (4.49) получается выражение:

log B (f) = log A (f)+ log H (f)                                      (4.51)

 

Ввиду линейного характера (обратного) преобразования Фурье операция сложения сохраняется и в выражении, содержащем соответствующие кепстры, т.е.

 

F^-1 {log B (f)} = F^{- 1} {log A (f)} + F^{- 1} {log H (f)}                         (4.52)

имеет вид комплексного числа.

Рис 4.37. Кепстры мощности сигнала возбуждения и отклика системы (задержка эха четко выражена)

Так как идентичным образом можно преобразовать выражение (4.50), то справедливо заключение о том, что связанные с источниками сигналов и условиями их распространения по волнопроводам, эффекты частотно-временного взаимодействия в системе являются аддитивными т.е. суммируются в соответствующих кепстрах мощности. Отметим, что при непосредственном обратном преобразовании Фурье выражения (4.50) операции умножения в области оригиналов соответствует операция свертывания в области изображений, т.е. свертка соответствующих автокорреляционных функций (рассматривая |H (f) |² как спектр мощности).

Области применения кепстров, основанные на описанных выше свойствах последних, простираются от диагностирования (например, определения времени задержки эха) по модифицирование кепстров с целью устранения определенного эффекта в другой области (например, с целью устранения эха, разложения претерпевших свертку сигналов и др.).