2020-06-29
127
В практической деятельности юристам часто приходится иметь дело с различными ситуациями. Умение анализировать сложившуюся обстановку, адекватно ее оценивать и делать правильные выводы является важным качеством каждого профессионала. Во многих случаях практика приводит к комбинаторным задачам.
Факториал
Определение. Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!
n! = 1 · 2 · 3 ·... · n.
Используя знак факториала, можно, например, записать
Факториалы растут удивительно быстро.
Точные значения факториалов
| 0!=1 |
Размещения
Определение. Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их следования.
Пример. При расследовании хищения установлено, что у преступника семизначный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется и нет нуля. Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двухчасов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?
|
|
|
Решение. Число номеров равно числу размещений из 9 элементов по 7, т.е. равно 
По формуле получаем 
номеров.
Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь – не прав.
Сочетания
Определение. Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. (Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не считаются различными.)
Число сочетаний из n элементов по m обозначается символом 
и вычисляется по формуле:
Пример. В штате прокуратуры областного центра имеется 16 следователей. Сколькими способами можно выбрать 2 из них для проверки оперативной информации о готовящемся преступлении?
Решение. Способов столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно 
, т.е. всего 120 способов выбора следователей.
Перестановки
Определение. Перестановками из n элементов называются такие соединения из n элементов, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.
Пример. Замок сейфа открывается, если введена правильная комбинация. Преступник пытается открыть сейф, набирая код наудачу. Он знает, что код состоит из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что все числа не повторяются и последней является 5. Сколько попыток ему придется сделать.
|
|
|
Решение. Так как число пять должно стоять на последнем месте, то остальные пять цифр могут стоять на оставшихся местах в любом порядке. Следовательно, количество кодов из шестизначных чисел, с пятеркой на конце, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 
.
4. Закрепление нового материала. ( 20 мин)
А теперь перейдем к работе в парах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в своем конспекте, проверить и оценить свою работу. Задания на столах в ваших конспектах. Помогайте друг другу при решении. (Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой паре).
Вариант 1.
1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1) 30 2) 100 3) 120 4) 5
2. На 1 курсе 12 учащихся, имеющих по математике оценки «4-5». Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
1) 128 2) 495 3) 36 4) 48
3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
1) 10 2) 60 3) 20 4) 30
Вариант 2.
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1) 100 2) 30 3) 5 4) 120
2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?
1) 3 2) 6 3) 2 4) 1
3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.
1) 10000 2) 1680 3) 32 4) 1600
Вариант 3.
1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?
1) 24 2) 4 3) 16 4) 20
2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?
1) 30 2) 21 3) 14 4) 7
3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
1) 22 2) 11 3) 150 4) 110
Вариант 4
1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?
1) 5 2) 120 3) 25 4) 100
2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?
1) 455 2) 45 3) 475 4) 18
3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?
1) 600 2) 100 3) 300 4)720
Вариант 5
1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?
1) 10 2) 20 3) 120 4) 50
2. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?
1) 35 2) 30 3) 70 4) 45
3. На соревнованиях по лёгкой атлетике наш техникум представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
1) 120 2) 1560 3) 4800 4) 5040
Для всех
Проверьте, верно, ли решена задача:
Задача. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?
Решение. P4=4! = 1*2*3*4 =24
.
