Формулы понижения степени, их доказательство

Формулы понижения степени в тригонометрии.

Одним из видов тригонометрических формул являются формулы понижения степени. Формулы понижения степени выражают степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. Таким образом, эти формулы понижают степень исходных тригонометрических функций с n-ой до первой, но при этом повышают кратность угла от до . В этой статье мы выведем формулы понижения степени для степеней со второй по четвертую, дадим общий вид формул понижения для n-ой степени, а также рассмотрим примеры их применения.

Формулы понижения степени, их доказательство

Запишем формулы понижения степени со второй по четвертую для синуса и косинуса, ниже приведем их вывод. А после этого дадим общий вид формул понижения степени.

Теперь перейдем к выводу этих формул понижения степени.

Формулы понижения для квадрата синуса и косинуса напрямую следуют из формул двойного угла вида и . Записанные равенства достаточно лишь разрешить относительно синуса в квадрате и косинуса в квадрате, что даст формулы и соответственно.

Здесь стоит отметить, что формулы понижения степени для синуса и косинуса в квадрате совпадают с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Двигаемся дальше.

Если формулы тройного угла вида и разрешить относительно синуса в кубе и косинуса в кубе, то получатся формулы понижения степени и соответственно.

Доказать формулы понижения с четвертой степени вида и можно, дважды обратившись к формулам понижения синуса и косинуса в квадрате:

Пришло время записать общий вид формул понижения степени. Для четных показателей степени (то есть, для n=2, 4, 6, …) они имеют вид и ,
а для нечетных (то есть, для n=3, 5, 7, …) - вид и , где - число сочетаний из p элементов по q.

Покажем, как использовать формулы понижения степени общего вида на конкретном примере. Запишем с их помощью формулу понижения степени для синуса в кубе. Так как показатель степени 3 является нечетным числом, то нужно воспользоваться формулой , приняв n=3. Для n=3 имеем