Через две точки. Параметрические уравнения прямой

 Уравнение прямой, имеющий угловой коэффициент  и проходящей через данную точку , записывается так:

                                                                 (4)                 

Совокупность прямых плоскости, проходящих через данную точку  (центр пучка), называется пучком прямых. Уравнением пучка прямых является уравнение вида (4), в котором k может принимать всевозможные действительные значения (каждой прямой пучка соответствует определенное значение k).

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых  имеет вид

          ,            (5)     

где  - любые вещественные числа.

Уравнение указанного пучка прямых можно записать в виде

                                 (6)      

где , причем .

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки :

                        .                      (7)       

Параметрические уравнения прямой, проходящей через эти точки:

           ,                  (8)      

где  принимает все действительные значения.

Замечания. 1. Уравнение (4) не может определять прямую пучка, параллельную оси (эта прямая определяется уравнением ).

2. Уравнение (6) определяет все прямые пучка (5), за исключением прямой  (исключен случай ).

3. Если один из знаменателей уравнения (7) обращается в нуль, уравнение искомой прямой получается приравниванием нулю соответствующего числителя (в том случае отрезок  параллелен одной из координатных осей). Оба знаменателя одновременно в нуль не обращаются, так как точки  и  различны.

4. Если , то уравнения (8) определяют отрезок прямой между точками  и , причем при  получаем точку , при  - точку .

П р и м е р ы

1.Составить уравнения прямых, на которых лежат стороны и высоты треугольника с вершинами А(3,4), В(6,2), С(3, ).

Найдем уравнение прямой, на которой лежит сторона АВ. Пользуемся уравнением (7), полагая :

Составляя уравнение прямой, на которой ВС, считаем :

При составлении уравнения прямой, на которой лежит сторона АС, считаем

.

 Второй знаменатель обращается в нуль, уравнение (7) теряет смысл. В этом случае уравнение прямой можно получить из геометрических соображений. Так как , то точки  и  оси  отрезок ; уравнение ее .

При составлении уравнений прямых, на которых лежат высоты треугольника, пользуемся формулой (4) и условием перпендикулярности двух прямых.

Поскольку прямая АВ имеет угловой коэффициент , то высота, опущенная из точки С, имеет угловой коэффициент .

В соответствии с (4) находим

 или  (CH).

Аналогично находим уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника, опущенная из точки А:

 или  (AH).

Так как прямая АС параллельна оси , то высота, опущенная из точки В на АС, параллельна оси , ее уравнение

.

Замечание. Обозначая в уравнении прямой АВ равные отношения через ,т.е. , находим параметрические уравнения этой прямой:  Считая , получаем параметрические уравнения стороны AB:

.