Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

Числовые и буквенные выражения.

1. При решении задач иногда только записывают действия, а выполняют их потом. Полученные записи называют числовыми выражениями.

2. Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий в числовом выражении,называют значением этого выражения.

3. Выражение, содержащее буквы, называют буквенным (алгебраическим) выражением.

4. Числа, которыми заменяют букву, называют значениями этой буквы.

5. Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выражения, можно придавать различные числовые значения, эти буквы называют переменными.

6. Если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое значение, то указанные значения переменных называют допустимыми; если же при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные значения переменных называют недопустимыми.

7. Решение задачи разбивается на 3 этапа а). Составление математической модели; б). Работа с математической моделью; в).Ответ на вопрос задачи.

8. Существует несколько видов моделей: Словесная модель(реальные ситуации описываются словами), алгебраическая модель (алгебраически), геометрическая модель (в геометрии и графики).

Линейные уравнения с одним неизвестным.

1. Решить линейное уравнение – это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения.

2. Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах+б=0, где а и б - любые числа (коэффициенты).

Алгоритм решения линейного уравнения ах+б=0 в случае когда а ≠ 0.

1. Преобразовать уравнение к виду ах= -б.

2. Записать корень уравнения в виде х= (-б): а, или, что то же самое, х= - б/а.

Алгоритм решения линейного уравнения ах+б=сх+д (а≠ с)

1. Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками.

2. Получится уравнение вида кх+м=0.

Координатная прямая.

1. Прямую, L на которой выбрана начальная точка О (начало отсчета), масштаб (единичный отрезок, т.е.отрезок, длина которого считается равной 1) и положительное направление,.

называют координатной прямой или координатной осью.

Числовые промежутки.

1. Луч-[а;∞) ---х ≥ а; (а;б]--- х ≤ б.

2. Открытый луч – (а;∞)--- х › а; (∞;б) --- х ‹ б.

3. Интервал – (а;б) --- а‹ х ‹ б

4. Отрезок - [а;б] ---- а ≤ х ≤ б

5. Полуинтервал - [а;в) --- а ≤ х ‹ б; (а;б] --- а ‹ х ≤ б

Координатная плоскость.

1. Прямоугольной системой координат на плоскости называют две перпендикулярные координатные прямые- х и у, которые пересекаются в начале отсчета – точке О. Точка О называется началом координат.

2. Плоскость на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.

3. Координатную прямую х называют осью абсцисс, а у – осью ординат.

4. Прямые углы, образованные осями координат, называют координатными углами.

Алгоритм отыскания координат точки М, заданной в системе координат хОу.

1. Провести через точку М прямую, параллельную оси У, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью Х – это будет абсцисса точки М.

2. Провести через точку М прямую, параллельную оси Х, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью У – это будет ордината точки М.

Алгоритм построения точки М(а;б) в прямоугольной системе координат хОу.

1. Построить прямую у=б.

2. Найти точку пересечения построенных прямых – это и будет точка М(а;б).

Линейное уравнение с двумя переменными.

1. Уравнение вида ах+ву+с=0, где а,в,с –числа (коэффициенты) называют линейным уравнением с двумя переменными х и у (или двумя неизвестными х и у).

2. Решением уравнения ах+бу+с=0 называют всякую пару чисел (х;у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е.обращает равенство с переменными ах+бу+с=0 в верное числовое равенство.

3. Графиком линейного уравнения является прямая.

4. Теорема №1. Если хотя бы один из коэффициентов а,б линейного уравнения ах+бу+с=0 отличен от нуля, то графиком уравнения служит прямая линия.

Алгоритм построения графика уравнения ах+бу+с=0, где а≠0, б≠0.

1. Придать переменной х конкретное значение х=х₁ (х=0) найти из уравнения ах₁+бу+с=0 соответствующее значение у=у₁.

2. Придать переменной у конкретное значение у=у₂ (у=0) найти из уравнения ах+бу₂+с=0 соответствующее значение х=х₂.

3. Построить на координатной плоскости хОу точки (х₁;у₁) и (х₂;у₂).

4. Провести через эти две точки прямую – она и будет графиком уравнения ах+бу+с=0.

5. Линейное уравнение вида ах+бу+с=0 (если б≠ 0) преобразованное к виду у=кх+м, где к и м коэффициенты. к= - а/б, м= - с/б будем называть линейной функцией.

6. У линейной функции х- независимая переменная (или аргумент), у – зависимая переменная (или функция).

7. Теорема 2. Графиком линейной функции у= кх +м является прямая.

8. Если к › 0 то функция у=кх + м возрастает.

9. Если к ‹ 0 то функция у=кх + м убывает.

10. Теорема 3. Графиком линейной функции у=кх является прямая, проходящая через начало координат.

11. Коэффициент К в записи у=кх называют угловым коэффициентом.

12. Теорема 4. Прямая,служащая графиком линейной функции у=кх+м, параллельна прямой, служащей графиком линейной функции у=кх.

13. Если к › 0, то прямая у=кх+м образует с положительным направлением оси Х острый угол, а если к ‹ 0,- тупой угол.

14. Теорема 5. Пусть даны две линейные функцииу=к₁х+м₁ и у=к₂х+м₂. Прямые, служащие графиками заданных линейных функций: 1. Параллельны, если к₁=к₂, м₁≠м₂; 2. Совпадают, если к₁=к₂, м₁=м₂; 3. Пересекаются, если к₁≠к₂

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

1. Если даны два линейных уравнения с двумя переменными Х и У: и поставлена задача найти такие пары значений (х;у), которые одновременно удовлетворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений.

2. Пару значений (х;у), которая одновременно является решением и первого и второго уравнений системы, называют решением системы.

3. Решить систему – это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Графический метод решения системы.

1. Если прямые параллельны,то система не имеет решений (система несовместна).

2. Если прямые совпадают, то система имеет бесконечное множество решений (система неопределенна)

3. Если прямые пересекаются, то координаты точки пересечения являются решением системы.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.

1. Выразить У через Х из первого уравнения системы.

2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо У во второе уравнение системы.

3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно Х.

4. Подставить найденное на третьем шаге значение Х в выражение У через Х, полученное на первом шаге.

5. Записать ответ в виде пары значений (х;у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.