Поверхность цилиндра и конуса

Лекция 6 (часть 2)

Объём призмы

Теорема. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Сначала докажем эту теорему для треугольной призмы, а потом и для многоугольной.

1) Проведём через ребро AA1 треугольной призмы АВСА1В1С1 плоскость, параллельную грани ВВ1С1С, а через ребро СС1—плоскость, параллельную грани AA1B1B; затем продолжим плоскости обоих оснований призмы до пересечения с проведёнными плоскостями.

Тогда мы получим параллелепипед BD1, который диагональной плоскостью АА1С1С делится на две треугольные призмы (из них одна есть данная). Докажем, что эти призмы равновелики. Для этого проведём перпендикулярное сечение abcd. В сечении получится параллелограмм, который диагональю ас делится на два равных треугольника. Данная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание есть D аbc, а высота — ребро АА1. Другая треугольная призма равновелика такой прямой, у которой основание есть D аdс, а высота —ребро АА1. Но две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами равны (потому что при вложении они совмещаются), значит, призмы АВСА1В1С1 и ADCA1D1C1 равновелики. Из этого следует, что объём данной призмы составляет половину объёма параллелепипеда BD1; поэтому, обозначив высоту призмы через H, получим:

2) Проведём через ребро АА1 многоугольной призмы диагональные плоскости АА1С1С и AA1D1D.

Тогда данная призма рассечётся на несколько треугольных призм. Сумма объёмов этих призм составляет искомый объём. Если обозначим площади их оснований через b1, b2, b3, а общую высоту через Н, то получим:
= ■

Объём пирамиды

Лемма: Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Без доказательства

Теорема. Объём пирамиды равен произведению площади её oснования на треть её высоты.

Доказательство:Сначала докажем эту теорему для пирамиды треугольной, а затем и многоугольной.

1) На основании треугольной пирамиды SABC построим такую призму SABCDE, у которой высота равна высоте пирамиды, а одно боковое ребро совпадает с ребром SB. Докажем, что объём пирамиды составляет третью часть объёма этой призмы. Отделим от призмы данную пирамиду. Тогда останется четырёхугольная пирамидаSADEC (которая для ясности изображена отдельно). Проведём в ней секущую плоскость через вершину S и диагональ основания DC. Получившиеся от этого две треугольные пирамиды имеют общую вершину S и равные основания DEC и DAC, лежащие в одной плоскости; значит, эти пирамиды эти равновелики. Сравним одну из них, именно SDEC, с данной пирамидой. За основание пирамиды SDEC можно взять D SDE; тогда вершина её будет в точке С и высота равна высоте данной пирамиды. Так как D SDE =DАВС, то пирамиды SDEC и SABC равновелики.

Призма ABCDES нами разбита на три равновеликие пирамиды: SABC, SDEC и SDAC. (Такому разбиению, очевидно, можно подвергнуть всякую треугольную призму. Это является одним из важных свойств треугольной призмы.) Таким образом, сумма объёмов трёх пирамид, равновеликих данной, составляет объём призмы; следовательно,

где Н есть высота пирамиды.

2) Через какую-нибудь вершину Е основания многоугольной пирамиды SABCDE проведём диагонали ЕВ и ЕС.

 Затем через ребро SE и каждую из этих диагоналей проведём секущие плоскости. Тогда многоугольная пирамида разобьётся на несколько треугольных, имеющих высоту, общую с данной пирамидой. Обозначив площади оснований треугольных пирамид через b1, b2, b3 и высоту через Н, будем иметь:

 

V_SABCDE = ^1/₃ b₁• H + ¹/₃ b₂• H + ¹/₃ b₃• H = (b₁ + b₂ + b₃) • ^H/₃

=S_ABCDE• ^H/₃. ■

 

 

Теорема. Объём усечённой пирамиды равен сумме объёмов трёх пирамид, имеющих высоту, одинаковую с высотой усечённой пирамиды, а основаниями: одна — нижнее основание данной пирамиды, другая — верхнее основание, а площадь основания третьей пирамиды равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего оснований.

Доказательство: Пусть площади оснований усечённой пирамиды будут В и b, высота Н и объём V (усечённая пирамида может быть треугольная или многоугольная — всё равно).

 

 

Требуется доказать, что

где   есть среднее геометрическое между B и b.

Для доказательства на меньшем основании поместим малую пирамиду, дополняющую данную усеченную пирамиду до полной. Тогда объём усечённой пирамиды V мы можем рассматривать как разность двух объёмов — полной пирамиды и верхней дополнительной.

Обозначив, высоту дополнительной пирамиды буквой х, мы найдём, что

Т.к.   (почему?

 

)

то получаем  (проведите вычисления самостоятельно

 

                                                                                                                                       )

Подставив это выражение в формулу, выведенную нами для объёма V, найдём:

Так как , то по сокращении дроби на разность  получим:

т. е. получим ту формулу, которую требовалось доказать.

 

Круглые тела

 

Цилиндр и конус

Поверхностью вращения называется поверхность, которая получается от вращения какой-нибудь линии (MN), называемой образующей, вокруг неподвижной прямой (АВ), называемой осью, при этом предполагается, что образующая (MN) при своём вращении неизменно связана с осью (АВ).

Возьмём на образующей какую-нибудь точку Р и опустим из неё на ось перпендикуляр РО. Очевидно, что при вращении не изменяются ни длина этого перпендикуляра, ни величина угла АОР, ни положение точки О. Поэтому каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси АВ и центр которой лежит на пересечении этой плоскости с осью. Отсюда следует, что плоскость, перпендикулярная к оси, пересекаясь с поверхностью вращения, даёт в сечении окружность.

Всякая секущая плоскость, проходящая через ось, называется меридиональной плоскостью, а линия её пересечения с поверхностью вращения — меридианом. Все меридианы равны между собой, потому что при вращении каждый из них проходит через то положение, в котором ранее был всякий другой меридиан

 

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой (АВ), перемещающейся в пространстве параллельно данной прямой и пересекающей при этом данную линию (МN). Прямая АВ называется образующей, а линия МN — направляющей.

Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями.

Часть цилиндрической поверхности, заключённая между плоскостями, называется боковой поверхностью, а части плоскостей, отсекаемые этой поверхностью, — основаниями цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований есть высота цилиндра. Цилиндр называется прямым или наклонным, смотря по тому, перпендикулярны или наклонны к основаниям его образующие.

Прямой цилиндр называется круговым, если его основания— круги.

Такой цилиндр можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольника ОАА₁ вокруг стороны ОО₁ как оси; при этом сторона АА₁ описывает боковую поверхность, а стороны ОА и O₁A₁ — круги оснований. Всякий отрезок ВС, параллельный ОА, описывает также круг, плоскость которого перпендикулярна к оси. Отсюда следует, что сечение прямого кругового цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, есть круг.

 

В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой цилиндр; для краткости его называют просто цилиндром. Иногда приходится рассматривать такие призмы, основания которых— многоугольники, вписанные в основания цилиндра или описанные около них, а высоты равны высоте цилиндра; такие призмы называются вписанными в цилиндр или описанными около него.

Конической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой (АВ), перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку (S) и пересекает данную линию (МN). Прямая АВ называется образующей, линия МN — направляющей, а точкa S — вершиной конической поверхности.

 

 

Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по, одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины. Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, — основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса.

 

 

Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а высота проходит через центр основания. Такой конус можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольного треугольника SOA вокруг катета SO как оси. При этом гипотенуза SA описывает боковую поверхность, а катет ОА —основание конуса. Всякий отрезок ВО₁, параллельный ОА, описывает при вращении круг, плоскость которого перпендикулярна к оси. Отсюда следует, что сечение прямого кругового конуса плоскостью, параллельной основанию, есть круг.

 

В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой конус, который для краткости называется просто конусом.

Иногда приходится рассматривать такие пирамиды, основания которых суть многоугольники, вписанные в основание конуса или описанные около него, а вершина совпадает с вершиной конуса. Такие пирамиды называются вписанными в конус или описанными около него.

Часть полного конуса, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченным конусом.

 

Круги, по которым параллельные плоскости пересекают конус, называются основаниями усечённого конуса.

Усечённый конус можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции ОАА₁О₁ вокруг стороны ОО₁, перпендикулярной к основаниям трапеции.

 

 

 

Лекция 6 (часть 3)

Поверхность цилиндра и конуса

За величину боковой поверхности цилиндра принимают предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот цилиндр правильной призмы, когда число сторон правильного многоугольника, вписанного в основание, неограниченно удваивается (и, следовательно, площадь каждой боковой грани неограниченно убывает).

За величину боковой поверхности конуса (полного или усечённого) принимается предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной пирамиды (полной или усечённой), когда число сторон правильного многоугольника, вписанного в основание, неограниченно удваивается (и, следовательно, площадь каждой боковой грани неограниченно убывает).

Теорема. Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Доказательство: Впишем в цилиндр какую-нибудь правильную призму.

Обозначим буквами р и Н числа, выражающие длины периметра основания и высоты этой призмы. Тогда боковая поверхность её выразится произведением р • Н. Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает.

Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а высота Н останется без изменения; следовательно, боковая поверхность призмы, равная всегда произведению р•Н, будет стремиться к пределу С•Н. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности цилиндра. Обозначив боковую поверхность цилиндра буквой S, можем написать:

S = С• Н ■

 

Следствия.

1) Если R обозначает радиус основания цилиндра, то С = 2πR, поэтому боковая поверхность цилиндра выразится формулой:

S = 2πR• Н

2) Чтобы получить полную поверхность цилиндра, достаточно приложить к боковой поверхности сумму площадей двух оснований; поэтому, обозначай полную поверхность через Т, будем иметь:

Т = 2πRН + πR² + πR² = 2πR(Н + R)

Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.

Доказательство: Впишем в конус какую-нибудь правильную пирамиду и обозначим буквами р и l числа, выражающие длины периметра основания и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность её выразится произведением ¹/₂ р• l.

Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а апофема l будет иметь пределом образующую конуса (так как из D SAK следует, что SA — SK< AK); значит, если образующую конуса обозначим буквой L, то боковая поверхность вписанной пирамиды, постоянно равная ¹/₂ р• l, будет стремиться к пределу ¹/₂С• L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности конуса. Обозначив боковую поверхность конуса буквой S, можем написать:

S = ¹/₂С• L = С• ¹/₂L

  Следствия.

1) Так как С = 2πR, то боковая поверхность конуса выразится формулой: S = ¹/₂• 2πR • L = πRL

2) Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь:

T = πRL + πR2 = πR(L + R).

Теорема. Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Доказательство: Впишем в усечённый конус какую-нибудь правильную усечённую пирамиду и обозначим буквами р, р₁ и l числа, выражающие в одинаковых линейных единицах длины периметров нижнего и верхнего оснований и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность вписанной пирамиды равна

¹/₂ (р +р₁) • l

При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной пирамиды периметры р и р₁ стремятся к пределам, принимаемым за длины С и С₁ окружностей оснований, а апофема l имеет пределом образующую L усечённого конуса. Следовательно, величина боковой поверхности вписанной пирамиды стремится при этом к пределу, равному (С + С₁) L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усечённого конуса. Обозначив боковую поверхность усечённого конуса буквой S, будем иметь: S = ¹/₂ (С + С₁) L

Следствия.

1) Если R и R₁ означают радиусы окружностей нижнего и верхнего оснований, то боковая поверхность усечённого конуса будет: S = ¹/₂ (2πR + 2πR₁) L = π (R + R₁) L.

2) Если в трапеции ОО₁А₁А, от вращения которой получается усечённый конус, проведём среднюю линию ВС, то получим:

ВС = ¹/₂(OA + O₁A₁) = ¹/₂ • (R + R₁),

откуда

R + R₁ = 2ВС.

Следовательно,

S = 2πBC• L,

т. е. боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую.

3) Полная поверхность Т усечённого конуса выразится так:

T = π (R² + R₁² + RL + R₁L)