Несобственные интегралы

Предисловие

Данный типовой расчет состоит из трех частей:

1) вычисления определенных и несобственных интегралов;

2) геометрические приложения определенных интегралов;

3) физические приложения определенных интегралов, приближенное вычисление определенных интегралов.

В каждой части типового расчета приводится справочный материал, который можно использовать при выполнении расчетных заданий, примеры решения типовых задач, варианты индивидуальных заданий.

Приведен список рекомендованной литературы.

В справочный материал данного типового расчета помещены основные определения и математические факты, непосредственно касающиеся задач, приведенных в индивидуальных заданиях.

Список рекомендуемой литературы

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1963, 1966. – Т. 2, 3.

2. Демидович Б.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Изд-во «АСТ», 2007.

3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов В.Х. Математический анализ. Ч.1 – М.: Юрайт, 2013.

4. Убодоев В.В., Иринчеев А.А., Макунина Т.А., Телешева Л.А. Математический анализ: неопределенный и определенный интеграл. – Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2010.

5. Ошоров Б.Б. Одномерный математический анализ: Учебное пособие. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2009.

ЧАСТЬ I

ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (в смысле Римана)

Если функция определена на конечном отрезке и – произвольное разбиение отрезка на элементарные отрезки , (), то определенным интегралом (в собственном смысле) от функции на отрезке называется число (если оно существует)

где (произвольное) и .

Функции , для которых упомянутый выше предел существует, называются интегрируемыми (собственно) на отрезке . В частности:

а) непрерывная на функция;

б) ограниченная на функция, имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва;

в) ограниченная монотонная на функция (которая может иметь в этом промежутке и бесконечное число точек разрыва);

– интегрируемы на любом конечном отрезке .

Если функция не ограничена на отрезке , то она собственно (т. е. в собственном смысле) не интегрируема на .

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

если , то .

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой из слагаемых функций:

3. При перемене местами нижнего и верхнего пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на обратный (его абсолютная величина при этом не изменяется):

отсюда следует, что

4. Для любых трех чисел справедливо равенство

если все три интеграла существуют.

5. Если на отрезке , , то .

6. Если на отрезке , , то

8. Теорема об оценке определенного интеграла. Если:

а) интегрируема на , ,

б) во всем этом промежутке , то

9. Обобщенная теорема об оценке определенного интеграла. Если:

а) и интегрируемы на , ,

б) во всем этом промежутке ,

в) на , то

10. Теорема о среднем. Пусть:

а) интегрируема на , ,

б) во всем этом промежутке , тогда

где ( – среднее значение функции на ).

Если, кроме того, функция непрерывна на , то , где , т. е.

11. Обобщенная теорема о среднем. Пусть:

а) и интегрируемы на , ,

б) во всем этом промежутке ,

в) на не меняет знака: (), тогда

где ( – среднее значение функции на ).

Если к тому же функция непрерывна на , то , где , т. е.

ТЕОРЕМА О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Если: а) и дифференцируемы в точке ,

б) непрерывна хотя бы в как угодно малой окрестности точки и и интегрируема в промежутке ( – как угодно малое число), то

В частности, если непрерывна на , то , , т. е. с переменным верх –

ним пределом является одной из первообразных функций , именно той первообразной, которая обращается в нуль при , так как

ФОРМУЛА НЬЮТОНА–ЛЕЙБНИЦА

Если функция определена и непрерывна на отрезке , и ее первообразная, т. е. , то

ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ФОРМУЛ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

(Следует из теоремы об инвариантности формы первого дифференциала функции.)

Всякая формула неопределенного интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т. е. если , то и , где –любая дифференцируемая функция от .

Из этой теоремы следует следующий метод замены переменной в определенном интеграле в форме, в которой этот метод еще называется методом подведения под знак дифференциала.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ

ИНТЕГРАЛЕ

Метод подведения под знак дифференциала

Пусть: а) функции , , , –непрерывные функции на отрезке , б) – монотонная функция.

Тогда, если подынтегральное выражение в интеграле удается записать в виде
= где (новая переменная выражается через старую), и первообразная функции может быть нами сравнительно просто найдена, то

Метод подстановки

Можно производить замену переменной в определенном интеграле, выражая не новую переменную через старую переменную (как в предыдущем случае), а наоборот, выражая старую переменную через новую переменную .

Для этого сформулируем следующее правило:

Если в промежутке функции и непрерывны и , то

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Если , , и – непрерывные функции на отрезке , то

здесь – любая первообразная функции .

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Если функция собственно интегрируема либо в промежутках (при любых ), либо в промежутках (при любых ), либо как в первых, так и во вторых промежутках, то для каждого из этих случаев по определению несобственных интегралов, соответственно имеем:

, ,

(*)

Если при имеет конечный предел, то говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится.

Если при не имеет конечного предела, то говорят, что в этом случае несобственный интеграл не существует или расходится.

Аналогичным образом определяются понятия сходимости или расходимости интеграла .

Равенство означает, что если каждый из несобственных интегралов, стоящих в правой части его, существует (сходится), то существует (сходится) и несобственный интеграл, стоящий в левой части равенства.

В противном случае, если хотя бы один из интегралов, стоящих в правой части равенства , будет расходящимся, то будет расходиться и интеграл .

ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ НА ОТРЕЗКЕ

[a, b] ФУНКЦИЙ

Если функция имеет бесконечный разрыв при и собственно интегрируема на отрезках при любых как угодно малых , то по определению несобственного интеграла (для данного случая) имеем:

Если функция имеет бесконечный разрыв при , , и непрерывна при и , то несобственный интеграл представляется в виде:

(**)

Если существует, то несобственный интеграл от функции , имеющей бесконечный разрыв в точке , существует и сходится, в противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично решается вопрос о сходимости или расходимости несобственного интеграла от функции, имеющей бесконечный разрыв на левом конце промежутка интегрирования, т. е. при .

Равенство представляет несобственный интеграл от функции, имеющей бесконечный разрыв в некоторой внутренней точке отрезка интегрирования , в виде суммы двух несобственных интегралов от функции, имеющей бесконечный разрыв лишь на одном из концов отрезка интегрирования, определение которых дано выше.

Если оба несобственных интеграла, стоящих в правой части формулы , существуют (сходятся), то существует (сходится) и несобственный интеграл, стоящий в левой части этой формулы.

В противном случае, если хотя бы один из интегралов, стоящих в правой части равенства ,будет расходящимся, то будет расходиться и интеграл , стоящий в левой части этого равенства.

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ

НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Если в результате замены переменной интегрирования несобственный интеграл представляется в виде интеграла, существующего в собственном смысле, то тогда и исходный несобственный интеграл существует, т. е. является сходящимся.

2. Применение основной формулы интегрального исчисления (формулы Ньютона–Лейбница)

Если первообразная для подынтегральной функции имеет конечный предел при предельном переходе, используемом в определении несобственного интеграла того или иного типа, то соответствующий интеграл сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Например:

а) если – первообразная для функции и существует конечный предел , то интеграл сходится и равен

Тем самым показывается, что и для несобственного интеграла этого типа в таком случае оказывается справедливой формула Ньютона–Лейбница;

б) если – первообразная для функции , неограниченной в окрестности точки , и существует конечный предел , то несобственный интеграл сходится и равен

= .

Тем самым показывается, что и для несобственного интеграла этого типа в таком случае оказывается справедливой формула Ньютона–Лейбница.

Аналогично выше приведенным примерам формула Ньютона–Лейбница может быть применена при вычислении и других типов несобственных интегралов (или при установлении их расходимости) в случае существования (или несуществования) конечных пределов первообразной для подынтегральной функции при соответствующих предельных переходах.

3. Непосредственно применяя формулу Ньютона–Лейбница, легко получить, что:

а)

б)

в)

4. Признаки сравнения для положительных подынтегральных функций

При формулировке признаков сравнения и следующего за ними предельного признака сравнения под промежутком интегрирования мы подразумеваем как конечный промежуток, так и бесконечный, т. е. могут быть как конечными числами, так и бесконечностями с соответствующим знаком; также, говоря об особой точке сравниваемых подынтегральных функций, мы подразумеваем под ней либо конечную точку, в которой сравниваемые функции терпят бесконечный разрыв, либо бесконечно удаленную точку. Кроме того, под предельным переходом (где – особая точка: либо , либо ) мы подразумеваем тот односторонний предельный переход, который используется в определении исследуемого на сходимость несобственного интеграла, т. е. либо (), либо ().

С учетом этого замечания признаки сравнения для положительных подынтегральных функций в общем случае могут быть сформулированы следующим образом:

Теорема сравнения I. Если в окрестности особой точки имеет место неравенство , то:

а) из сходимости несобственного интеграла следует сходимость несобственного интеграла ;

б) из расходимости несобственного интеграла следует расходимость несобственного интеграла .

Теорема сравнения II. (Предельный признак сравнения):

а) если существует предел

то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно;

б) в частности, если ~ при , то и одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемы на промежутке .

Замечание: относительно предельного перехода , фигурирующего в этом предельном признаке сравнения, смотрите замечание, приведенное в начале предыдущего пункта, где приведены непредельные признаки сравнения.

5. Признаки Коши (для положительных подынтегральных функций).

I. Пусть для достаточно больших функция имеет вид Тогда:

1) если и , то интеграл сходится,

2) если и , то интеграл расходится.

Более удобная для практики частная форма сформулированных признаков Коши, такова:

если при функция является бесконечно малой порядка по сравнению с , то интеграл сходится или расходится в зависимости от того, будет ли, или .

II. Пусть для достаточно близких к (либо к ) значений функция имеет вид

, .

Тогда:

1) если и , то несобственный интеграл сходится,

2) если и , то несобственный интеграл расходится.

Более удобная для практики частная форма сформулированных признаков Коши, такова:

если при (при ) функция является бесконечно большой порядка по сравнению с
(по сравнению с ), то несобственный интеграл сходится или расходится в зависимости от того, будет ли соответственно или .

6. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Если сходится в промежутке интегрирования (конечном или бесконечном) несобственный интеграл от , то сходится и несобственный интеграл от самой функции , при этом несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, а сама функция – абсолютно интегрируемой в .

Так как то при установлении абсолютной сходимости несобственных интегралов можно пользоваться признаками сравнения, предельным признаком сравнения и признаками Коши, сформулированными для положительных подынтегральных функций.

Если функция абсолютно интегрируема в промежутке (конечном или бесконечном), а функция ограничена в этом промежутке, то и произведение будет функцией абсолютно интегрируемой в промежутке .

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1. Вычислить определенный интеграл .

Решение (интегрирование подведением под знак дифференциала).

Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций , где имеет очевидную первообразную , а есть функция этой первообразной: , , т. е.

, , ,

но

тогда

где .

Ответ. .

Задача 2. Вычислить определенный интеграл .

Решение (интегрирование по частям).

Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций , где имеет очевидную первообразную , а – дифференцируемая функция, причем ее производная является более простой функцией, чем .

В данном случае , , , . Применим формулу интегрирования по частям:

Последний интеграл не является табличным, но к нему можно повторно применить формулу интегрирования по частям. Теперь

, , , ,

Ответ. .

Задача 3. Вычислить определенный интеграл

Решение (интегрирование выражений ).

Поскольку функция определена на , сделаем универсальную тригонометрическую подстановку . Подставляя в подынтегральное выражение

; ; ,

получим .

Находим новые пределы интегрирования . Применим формулу замены переменной в определенном интеграле:

Ответ. .

Задача 4. Вычислить определенный интеграл

Решение (интегрирование выражений

Чтобы сделать подстановку, приводящую к интегралу от рациональной функции, нужно преобразовать подынтегральную функцию так, чтобы она содержала корни любой степени, но из одного и того же выражения вида . Поэтому преобразуем подынтегральное выражение, выделяя , затем применим подстановку , , , , :

= =

Ответ.

Задача 5. Вычислить определенный интеграл .

Решение (интегрирование выражений и

Для избавления от радикала используют тригонометрические или гиперболические подстановки. В данном случае применим подстановку . Тогда

, , ,

, поскольку при .

Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

Ответ. .

Задача 6. Оценить интеграл .

Решение. Имеем: при , тогда , т. е. согласно теореме об оценке определенного интеграла , , . Следовательно, . Ответ. .

Задача 7. Оценить интеграл .

Решение. Воспользуемся обобщенной теоремой об оценке определенного интеграла. Пусть , .

Производная обращается в нуль при и меняет знак в этой точке с минуса на плюс. Следовательно, функция имеет в этой точке минимум. Максимума функция достигает на концах отрезка и . Таким образом, выполняется система неравенств: , а при строгие неравенства: . Поэтому, применяя обобщенную теорему об оценке определенного интеграла, получим:

или, окончательно, .

Ответ. .

Задача 8. Найти , если .

Решение. Функции и определены, непрерывны, а следовательно, дифференцируемы . Причем и . Тогда согласно теореме о дифференцировании определенного интеграла имеем:

Ответ. .

Задача 9.

Найти критические точки функции .

Решение. Найдем . Воспользуемся теоремой о дифференцировании определенного интеграла. Функции и дифференцируемы и , . Тогда

Находим критические точки функции , т. е. точки, в которых или не существует. , следовательно, . Тогда . И точка (0,0) является критической. А так как меняет в этой точке свой знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Ответ. (0,0) – точка минимума функции .

Задача 10. Вычислить или установить расходимость несобственных интегралов

1) , 2) , 3) .

Решение. 1)

так как при , то и, продолжая равенство,

2) и, так как предел не существует, интеграл расходится.

Ответ. 1) ; 2) расходится; 3) .

Задача 11. Вычислить или установить расходимость несобственных интегралов:

1) , 2) .

Решение. 1) Функция непрерывна при и имеет бесконечный разрыв в точке . Тогда, по определению несобственного интеграла, имеем:

2) Функция непрерывна при и и имеет бесконечный разрыв в точке . Тогда, по определению несобственного интеграла, имеем:

и не существуют, так как логарифм неограниченно растет по абсолютной величине при . Следовательно, интеграл расходится.

Ответ. 1) . 2) Интеграл расходится.

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

1. Вычислить определенный интеграл:

1) . 2) . 3) .

4) . 5) .

6) .

2. Найти , если ().

3. Оценить интеграл: .

4. Вычислить или доказать расходимость несобственных интегралов:

1) , 2) .

Вариант 2

1. Вычислить определенный интеграл:

1) . 2) . 3) .

4) . 5) .

6) .

2. Найти: .

3. Оценить интеграл: .

4. Вычислить или доказать расходимость несобственных интегралов:

1) , 2) .

Вариант 3

1. Вычислить определенный интеграл:

1) . 2) .

3) . 4) .

5) .

6) .

2. Найти критические точки функции:

3. Оценить интеграл: .

4. Вычислить или доказать расходимость несобственных интегралов:

1) , 2) .

Вариант 4

1. Вычислить определенный интеграл:

1) . 2) . 3) .

4) .

5) . 6) .

2. Найти точки экстремума функции: .

3. Оценить интеграл: .

4. Вычислить или доказать расходимость несобственных интегралов:

1) , 2) .

Вариант 5

1. Вычислить определенный интеграл:

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

2. Найти , если .

3. Оценить интеграл: .

4. Вычислить или доказать расходимость несобственных интегралов:

1) , 2) .

Вариант 6

1. Вычислить определенный интеграл:

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

2. Найти , если .

3. Оценить интеграл: .

4. Вычислить или доказать расходимость несобственных интегралов:

1) , 2)

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Модели отношения врач – пациент

Столыпинская аграрная реформа

Радиус и область сходимости степенного ряда

Формы и системы оплаты труда

Методы исследования

Условия интерференционного максимума и минимума

Самый сильный аргумент, почему эволюция человека не могла быть