ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГОГО МОДУЛЯ СДВИГА СТАЛЬНОЙ ПРОВОЛОКИ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Лабораторная работа № 4.8
Цель работы: исследовать деформацию кручения цилиндрического тела и установить связь между крутящим моментом и углом закручивания. Определить модуль сдвига образца.
Оборудование: крутильный маятник, измеритель периода крутильных колебаний системы, набор металлических дисков с известными моментами инерции, стальная проволока, электромагнит.
Теоретическое введение
Кручением называется деформация образца, один конец которого закреплен, а на другой действует пара сил, плоскость которой перпендикулярна оси образца. Кручение состоит в относительном повороте параллельных друг другу сечений, проведенных перпендикулярно к оси образца. Деформация кручения является неоднородной. Она увеличивается при удалении от оси поворотов элементов образца.
Закон Гука для деформации кручения записывается в виде
, (1)
|
|
где ƒ - модуль кручения, - абсолютный угол кручения образца.
Модуль кручения показывает, какой момент сил нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в 1 рад. В отличие от модулей Юнга и сдвига эта величина зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.
Деформацию кручения можно свести к деформации сдвига. Получим выражение для модуля кручения ¦.
O
C
φ
L
|
Стержень (рис.1) можно представить состоящим из множества цилиндрических оболочек (трубок), каждая из которых характеризуется радиусом r, длиной L и толщиной dr. Площадь основания трубки
dS = 2p r dr, (2)
а момент касательных упругих сил, действующих в этом основании,
|
|
, (3)
где - напряжение сдвига в этом сечении.
Каждый продольный элемент цилиндрической трубки поворачивается на угол
. (4)
По закону Гука для сдвига получим
. (5)
Итак, момент сил, действующих на цилиндрическую трубку, равен
. (6)
Полный же момент сил, действующих на проволоку (стержень) радиуса R, найдется интегрированием выражения (6):
. (7)
Имея соотношения (1) и (7), получим выражение для модуля кручения образца
. (8)
Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания маятника.
.
Описание установки и методика измерений
Рис.2
Установка имеет основание с регулируемыми ножками, на котором расположен электронный измеритель периода крутильных колебаний и закреплена вертикальная колонка. На колонке установлены три кронштейна, причем нижний и средний, в случае необходимости, можно перемещать вдоль колонки. На среднем кронштейне имеется площадка в виде полукольца, на которой располагаются электромагнит и фотоэлектронный датчик. При необходимости их положение можно изменять.
Колеблющаяся система состоит из двух одинаковых упругих элементов (проволок) и инерционной рамки, позволяющей закреплять дополнительные инерционные грузы (диски) с известными моментами инерции относительно продольной оси (рис.2).
Динамическое уравнение свободных колебаний крутильного маятника имеет вид:
, (9)
где I – момент инерции колеблющейся системы, – угловое ускорение, Мупр – момент упругих касательных сил.
С учетом (7) уравнение (9) запишем в таком виде:
, (10)
где . (11)
Заметим, что как уравнение (10), так и соотношение (11) справедливы только для упругих деформаций кручения проволочной подвески маятника.
Решая уравнение (10), получим:
. (12)
Здесь φ – угол поворота крутильного маятника к моменту t; φm – заданная угловая амплитуда колебаний. Уравнение (12) определяет свободные, практически гармонические, колебания вертикального крутильного маятника с периодом
. (13)
На самом же деле, колебания будут медленно затухающими, так как полностью силы сопротивления исключить невозможно. Из (13) получим формулу для модуля сдвига
, (14)
где d – диаметр проволочной подвески маятника.
Собственный момент инерции маятника неизвестен. Чтобы исключить этот параметр, необходимо иметь два дополнительных инерционных тела с известными моментами инерции, которыми нагружается маятник.
Пусть I0 – неизвестный собственный момент инерции маятника, а I1 и I2 – моменты инерции дополнительных тел. В этом случае мы получим систему двух уравнений:
|
|
(15)
Решая систему (15), получим:
, (16)
Здесь , где L1 и L2 – длины верхней и нижней проволочных подвесок маятника.
Порядок выполнения работы
1. Убедиться в том, что крутильный маятник в исходном состоянии имеет вертикальное положение. В противном случае произвести выравнивание прибора с помощью регулируемых ножек основания.
2. Установить первый инерционный диск в рамку маятника и измерить период колебаний, повторяя данную процедуру 3 раза. По данным этих измерений найти среднее значение периода Т1.
3. Установить второй инерционный диск в рамку маятника, не снимая первый. Произвести 3 измерения периода и найти его среднее значение Т2.
4. По формуле (16) найти модуль сдвига стальной проволоки.
5. Результаты измерений и расчётов записать в табл.1.
Таблица 1.
I1, кг∙м2 | T1, с | I2, кг∙м2 | T2, с | L1, м | L2, м | L, м | G, Па |
Контрольные вопросы
1. Какой вид имеет закон Гука для основных видов деформации?
2. В чём состоит физический смысл упругих модулей?
3. Что такое нормальное и тангенциальное напряжения?
4. От чего зависит потенциальная энергия упруго деформированного тела?
5. Какие деформации называются упругими, пластическими?
6. От чего зависит модуль упругости образца?