Смысл суммы и разности

Для выяснения смысла натурального числа как меры величины все рассуждения будем вести на примере одной величины – длины отрезка.

Определение. Отрезок х состоит из отрезков х₁,х₂,х₃,….х_n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек за исключением общих концов. х= х₁  х_{2 …}  х_n.Длину отрезка х будем обозначать Х, а длину отрезка е обозначим через Е.

Определение. Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х при единице длины Е. пишут Х= а·Е или а= m_Е (Х).

    Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.

    В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания.

Замечание 1. При переходе к другой единице длины численное значение  длины изменяется, хотя отрезок остается неизменным.

Замечание 2. Если отрезок х состоит из а единичных отрезков е, а отрезок y состоит из b единичных отрезков е, то а =b <=> отрезки х и у равны.

Теорема 1. Если отрезок х состоит из отрезков у и z, длины которых выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Доказательство

Пусть m(Y)=a, m(Z) =b при единице Е, тогда отрезок у состоит из а частей длины Е, z состоит из b частей длины Е.Поэтому весь отрезок х состоит из а+b таких частей, значит m(X)=a+b=m(Y) + m(Z).

    Таким образом, сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру отрезка х, состоящего из отрезков у и z мерами длин которых являются а и b.

Пример. В саду собрали 3кг смородины и 4 кг малины. Сколько килограмм ягод собрали в саду?

Теорема 2. Если отрезок х состоит из отрезков у и z, длины которых выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у: а-b=m_E(X)- m_E(Y)= m_E(X-Y).(доказательство аналогичное).

Пример. Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько куплено картофеля, если капусты купили 3кг?

    С помощью сложения и вычитания решаются задачи, в которых величины связаны отношением «больше на», «меньше на».

Задача. Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2кг больше. Сколько куплено картофеля?