Формат с плавающей запятой

При использовании чисел с плавающей запятой разрядная сетка компьютера принимает следующий вид (слайд 5):

разрядная сетка = n_разр

<знак числа> <мантисса> <знак порядка> <порядок>

В этом случае числа представляются в виде мантиссы и порядка в двоичной системе счисления:

X = ± M_x × q^±p

где: М_х – мантисса числа;

q=2 – основание системы счисления;

р – порядок числа.

Порядок (р) определяет положение запятой в числе. Значение порядка лежит в диапазоне -p_max < p < p_max, где величина р_max определяется числом разрядов r, отведенных для представления порядка:    p_max = 2^r - 1.

Положительные и отрицательные значения порядка значительно усложняют обработку вещественных чисел. Поэтому в современных компьютерах используют не прямое значение р, а модифицированное р', приведенное к интервалу 0 ≤ р' ≤ 2 × p_max. Это значение носит название характеристики числа, которая определяется выражением p' = p + p_max.

Мантисса (M_x) представляется двоичным числом, у которого запятая фиксируется перед старшим разрядом, т.е.

0 ≤│M_x│≤ 1 - 2^-k,

где k – число разрядов, отведенных для представления мантиссы.

Если 0.5 ≤ │M_x│ ≤ 1 - 2^-k, то старший значащий разряд мантиссы в двоичной системе счисления отличен от нуля. Такое число называется нормализованным.

Диапазон изменения значений нормализованных чисел с плавающей запятой определяется так:

,

где k и r – соответственно количество разрядов, используемых для представления мантиссы и порядка.

В этом диапазоне самое малое (отличное от нуля) и самое большое число определяются так:

,

                             r

,

                k           r

Абсолютная величина ошибки округления при представлении числа в формате с плавающей запятой не превышает │ΔХ│ ≤ 0,5 × 2^-k.

Теоретически представление с плавающей запятой имеет преимущества перед представлением с фиксированной запятой. Но соответствующее устройство получается намного сложнее. К тому же специфика выполнения операций с плавающей запятой требует большего числа микроопераций, что приводит к снижению быстродействия компьютера. Однако представление с плавающей запятой снимает с программиста обязанность отслеживать положение запятой в вычислениях и значительно упрощает сам процесс программирования вычислительных задач.

Формат с плавающей запятой используется для представления вещественных чисел.