2020-10-10
364
Мы начинаем построение релятивистской динамики.
Как уже говорилось, процесс этот состоит в том, чтобы создавать 4-мерные векторы, у которых 3-мерная (пространственная) часть – это обычный вектор, а временная (ударение на а) часть исчезает при 
(принцип соответствия).
Почему мы должны поступать таким образом?
- Неинвариантность уравнений Ньютона относительно преобразований Лоренца.
- Неопределенность понятия силы из-за неинвариантности пространственного расстояния 
относительно преобразований Лоренца и т.д.
Нужно обеспечить инвариантность уравнений механики относительно релятивистских преобразований координат и времени.
4-мерный вектор скорости
4-мерный вектор скорости будем искать как производную 4-мерного радиус - вектора по временно¢му интервалу. В качестве временно¢го интервала возьмем собственное время частицы (материальной точки) в мгновенно-сопутствующей системе отсчета.
По аналогии с построением соответствующих величин в обычном (3-мерном) пространстве, где скорость определялась как производная радиус-вектора по времени, 
, имеем: 
(здесь 
- собственное время частицы; - инвариант, в то время как ни 
, ни 
инвариантами не являются).
Собственное время мы отсчитываем в мгновенно-сопутствующей системе отсчета K'.
Мгновенно-сопутствующей системой отсчета будем называть систему отсчета, постоянная скорость которой равна мгновенной скорости частицы 
(скорость 3-мерная).
В мгновенно-сопутствующей системе отсчета K’ за бесконечно малый промежуток времени 
(в течение которого как раз 
) координаты частицы не изменяются: 
, т. е. частица покоится в мгновенно-сопутствующей системе K’.
Пользуясь высказанными соображениями, введем еще раз понятие собственного времени частицы, связав его с интервалом между событиями.
Интервал инвариантен:
; отсюда с учетом 
, имеем
.
- квадрат модуля вектора мгновенной скорости частицы, поэтому
.
Собственное время частицы: 
.
Примечание
Поскольку ускорение влияет на ход часов, мы не можем связывать часы с движущейся частицей. Время нужно отсчитывать по часам в неподвижной системе отсчета, переходя к измерению полного собственного времени частицы путем суммирования (интегрирования): 
.
Вводим 4-мерный вектор скорости: 
.
 |
Компоненты скорости (индекс не путать со степенью!):
, 
.
Убедимся в инвариантности квадрата 4-мерного вектора скорости относительно преобразований Лоренца.
(Дополнительный материал.)
Для этого подставим выражение для интервала вместо dR - и собственное время частицы в выражение для скорости:
invariant.
Заметим, что при 
множитель 
, компоненты 
переходят в 
, т.е. совпадают с обычной скоростью. Компонента 
отлична от нуля даже при 
(частица покоится). При этом 
. Смысл в том, что время остановить нельзя, оно всегда течет (точнее - летит).
В 4-мерном мире Минковского покоя (в смысле 
) – быть не может.
4-мерная сила и 4-мерное уравнение движения
Напоминание 1
Основное уравнение динамики в модели Галилея-Ньютона:
, или 
, или 
(
- 3-мерный импульс, 
- 3-мерная сила).
Напоминание 2
Возьмем уравнение . Умножим правую и левую части на 
:
(левая часть – изменение энергии системы, правая – работа силы 
на пути 
).
Под знак дифференциала в левой части уравнения можно ввести произвольное постоянное слагаемое 
(энергия, которой обладает тело в состоянии покоя). Тогда полная энергия тела 
. Обычно в классической механике выбирают 
, и полная энергия свободного тела (при 
) совпадает с его кинетической энергией.
Напоминание 3
Если частица находится в потенциальном поле 
, то 
.
Так как 
, а 
, то
; отсюда закон сохранения энергии 
Þ 
.
4-мерный импульс
По аналогии с трехмерным импульсом 
вводим 4-мерный импульс как произведение инвариантной скалярной массы 
на 4-мерную скорость, т.е.
, 
.
Здесь записаны компоненты импульса в виде матрицы.
Отличие от 3-мерного импульса - в множителе, возникающем в результате преобразования скоростей:
.
Из этой записи возникает распространенное впечатление о зависимости массы частицы от скорости: 
.
Тогда: 
.
РИС. 6-11
На самом деле масса инвариантна и не изменяется при переходе от одной ИСО к другой.
Математическое отступление
Матрица – система элементов 
(чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы (таблицы).
Если матрица имеет 
строк и 
столбцов, говорят о матрице 
.
Если 
, то матрица называется квадратной, а число - ее порядком. Матрица может состоять из одной строки или из одного столбца. Запись матрицы:
.
Действия над матрицами
Произведением прямоугольной - матрицы на число 
называется матрица, элементы которой получены из элементов умножением на :
.
Сумма определяется только для матриц одинакового строения – элементы суммы равны суммам соответствующих элементов:
.
Умножение матриц определяется только для таких прямоугольных матриц, что число столбцов первого множителя равно числу строк второго множителя.
Произведением матрицы 
на матрицу 
будет матрица - такая, что 
, где 
, 
.
Элементы строки умножаются на соответствующие элементы столбца и складываются.
При умножении:
1) нет коммутативности, 
; если 
, то матрицы называются перестановочными;
2) произведение двух ненулевых матриц может быть равно нулевой матрице.
4-мерное уравнение движения (пространственная часть)
(Вывод можно пропустить.)
По аналогии с основным уравнением классической динамики запишем:
(
- собственное время частицы).
Компоненты вектора 4-мерной силы 
еще предстоит определить.
То же уравнение в компонентах:
.
Определяем компоненты 
:
;
Используем определение 4-мерного импульса, тогда
.
Приравнивая 4-мерные векторы, мы приравниваем компоненты:
Чтобы выполнялся принцип соответствия, пространственные компоненты 4-мерной силы должны быть пропорциональны компонентам 3-мерной силы. Тогда при релятивистские уравнения движения перейдут в уравнения Галилея-Ньютона:
, (
- компоненты 3-мерной силы).
Так как 
, то
= 
, Þ 
= .
Умножая правую и левую части на соответствующие координатные орты 
и складывая результаты, получаем:
Это - пространственная часть уравнения движения в релятивистском приближении.
Отличается от классического уравнения лишь определением импульса 
, да и то можно превратить в классическую форму, если ввести зависящую от скорости массу: 
.
Временна¢я компонента 4-мерной силы
(Вывод можно пропустить.)
Запишем инварианты 4-мерной скорости:
.
Продифференцируем уравнение по собственному времени частицы:
.
Здесь записано то, что нам уже известно о величинах, входящих в дифференциал инварианта. Подставляем:
;
;
- временна¢я компонента 4-мерной силы.
Найдены компоненты 4-мерной силы Минковского:
.
Временна¢я компонента релятивистского уравнения движения
Приравниваем соответствующие компоненты 
и 
:
.
Умножаем правую и левую части на 
:
;
слева - изменение во времени полной энергии свободной релятивистской частицы, справа - работа трехмерной силы 
.
Пространственно-временное уравнение движения:
(1) - векторное,
(2) 
- скалярное.
При 
уравнение (1) переходит в уравнение классической динамики, а уравнение (2) превращается в тождество 0º0:
делим левую и правую части (2) на 
, тогда
;
в левой части 
, поэтому производная равна 0;
в правой части 
при , поэтому векторное произведение равно 0.
Полная энергия свободной (
) релятивистской частицы
Запишем пространственно-временное уравнение движения (2):
;
слева, по аналогии с классическим уравнением, изменение полной энергии свободной частицы, справа - работа силы на пути .
Определим полную энергию свободной релятивистской частицы, помня о том, что уравнение (2) дает полную энергию с точностью до постоянной величины:
,
где 
и 
- абсолютная величина 3-мерной скорости частицы.
Из выражения 
видно, что при 
, и выясняется, что частица обладает энергией покоя:
.
Какая величина энергии покоя?
=1 г, =9×1020см2/с2 Þ 
»1021эрг/г»1014 Дж/г.
Примечание
Существенно не то, сколько энергии содержит та или иная система, а то, сколько энергии может быть использовано. До начала использования ядерной энергии энергия покоя никак не реализовывалась, соответственно всегда сохранялась масса (взвешивание всегда было одним из самых точных измерений). Действительно, нагревание 1 кг воды на 1000 изменяет массу на 5×10-9г, т.е. относительное изменение массы 
=5×10-12 – за пределами точности.
Кинетическая энергия свободной релятивистской частицы =
=(полная энергия) – (энергия покоя):
;
.
При каких условиях это выражение переходит в классическое?
Разложим 
в ряд по малому параметру 
:
,
; 
.
члены порядка не ниже 
.
Условно принято считать, что релятивистской поправкой можно пренебрегать, если 
(1%). Это соответствует 
Итоги:
Итак, мы получили 4-мерные векторы динамических переменных:
;
;
.
Получили также пространственно-временные уравнения движения:
(1) 
- векторное,
(2) 
- скалярное.
Здесь 
- мгновенная скорость частицы, 
- сила, действующая на частицу, 
- инвариантная масса.
4-мерный вектор энергии-импульса
(Вывод можно пропустить.)
Вспомним запись 
- компоненты 4-мерного импульса:
, так как 
, где 
- полная энергия свободной частицы.
Теперь 4-мерный импульс можно записать в форме:
= 
, где 
.
Квадрат 4-мерного импульса является важным инвариантом:
, при этом сравниваются выражения для импульса
(с. 110) и энергии (с. 115), а также 
(с. 109).
, или
- релятивистский инвариант.
По существу это закон сохранения энергии - импульса, заменивший закон сохранения энергии и закон сохранения импульса.
Заметим, что 
. Вообще говоря, знак минус перед выражением для полной энергии свободной частицы имеет физический смысл: море частиц с отрицательной полной энергией ненаблюдаемо; вырывая из этого моря одну частицу и переводя ее в состояние с положительной энергией, мы можем наблюдать не только эту частицу, но и оставшееся свободное место – античастицу (модель Дирака).
