2020-10-10
359
(Вывод можно пропустить.)
Гамильтонианом (функцией Гамильтона) свободной частицы называют ее энергию, выраженную через ее импульс (
, поэтому только через импульс).
Для свободной частицы 
.
,
,
Þ 
.
Вспоминаем: 
- скорость.
Следовательно (для свободной частицы): 
.
Отсюда: 
Умножаем на 
и складываем: 
.
Импульс ультрарелятивистских частиц, 
: 
.
Энергия ультрарелятивистских частиц: 
.
Направление импульса совпадает с направлением скорости: 
;
энергия фотона 
, следовательно, импульс фотона 
.
Примечание
Если частица находится в потенциальном поле, то сохраняется ее полная энергия: энергия покоя + кинетическая + потенциальная, т.е.
.
Гамильтониан: 
.
О взаимосвязи массы и энергии
Соотношение 
рассматривалось А. Эйнштейном как самый значительный вывод СТО.
Однако величина изменения массы при изменении энергии (в неядерных масштабах) – мала.
Пример 1
При соударении и слиянии двух частиц, каждая массой 
=1 г, имеющих равные и противоположно направленные скорости 
=105 см/с, добавочная масса покоя слипшейся пары будет:
|
|
|
; 
- за пределами погрешности взвешивания.
Пример 2
Атом водорода состоит из электрона, связанного с протоном. Его масса покоя (
) должна быть меньше суммы масс протона (
) и электрона (
) на величину, соответствующую энергии связи (
=13.6 эВ):
=13.6 [эВ]/ 
=22×10-12 [эрг] / 9×1020 [см2/с2]=2.4×10-32 г.
Измеренная масса атома водорода 
=1.67338×10-24г. Значит, 
- за пределами погрешности измерения.
Пример 3
Сумма масс покоя протона () и нейтрона (
):
г = 3.3473×10-24 г.
Экспериментально найденная масса покоя дейтрона (ядро тяжелого изотопа водорода – дейтерия) 
3.34334×10-24г.
Энергия связи ядра (т.е. дейтрона): 
.
(3.3473-3.34334)×10-24 г = 3,96 ×10-27г.
3,96×10-27 [г]×9×1020 [см2/с2] = 3.56×10-6эрг = 2.225 МэВ.
Измеренное значение энергии связи нейтрона в дейтроне 2.234 МэВ.
Пример 4
Важнейшим источником энергии Солнца и большинства звезд является ядерное сжигание протонов с образованием He. В этом процессе суммарное изменение в одном акте синтеза равно 
( =9.109534×10-28 г = 0.5110034 МэВ).
В каждом акте синтеза выделяется, следовательно, ~25МэВ.
Полная энергия системы частиц
(Дополнительный материал, знать определения.)
,
- полная масса системы, которую хотим узнать,
- суммарный импульс всех частиц системы.
А. Невзаимодействующие частицы
Для системы невзаимодействующих частиц суммарная (полная) энергия системы равна сумме полных энергий каждой из частиц:
- этим выражен тот факт, что частицы между собой не взаимодействуют.
Подставим:
.
Перейдем в такую систему отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю (система центра масс).
|
|
|
Тогда 
, или 
.
Энергия отдельной частицы: 
.
Тогда 
.
Масса покоя системы невзаимодействующих частиц превосходит сумму масс покоя составляющих частиц на величину полной кинетической энергии системы
(в единицах массы, т.е. деленную на 
), вычисленную в системе отсчета, где полный импульс системы равен нулю.
Б. Взаимодействующие частицы
В системе центра масс (
) с учетом 
,
где 
- энергия взаимодействия частиц, получаем:
.
Так как 
, то
- полная масса системы взаимодействующих частиц.
Примечание
Состояние любой системы частиц всегда характеризуется соотношением между кинетической и потенциальной энергиями системы. Например,
- газ; 
- кристалл (или вообще любая связанная система);
- жидкость.
Если возвратиться к нашему случаю, то при условии 
(связанная система):
.
В системе взаимодействующих частиц всегда полная масса системы отличается от суммы масс составляющих систему частиц, и разность называется
дефектом массы.
Дефект массы определяют как разность суммарной и полной масс системы:
.
Для устойчивой системы (действуют силы притяжения) 
и 
. Если энергии связи значительны (например, в атомных ядрах), то по дефекту масс можно определить энергию связи частиц.
