Замечательные пределы

Первый замечательный предел

.                                                                              (1.9)

 

Построим тригонометрический круг с радиусом ОА = 1. Прямая DA – ось тангенсов. Возьмем на окружности точку В. Радиус ОВ = 1. Соединим точки А и В. Угол ВОА равен х, ВС = sin x, DA = tgx (рис. 1.2)

Предположим, что x > 0. Для x < 0 доказательство аналогично. Площадь треугольника ВОА

 

.

 

Площадь сектора ВОА

 

.

 

Рис. 1.2. Первый замечательный предел.

 

Площадь треугольника DОА

 

.

 

Из чертежа следует, что для площадей выполняется соотношение

т. е.

 

Сократим общий множитель ½ и разделим на sin (x) (т. к. , то и ). Получим

 

 

Или, для обратных величин

 

Так как , то и . Что и требовалось доказать.

 Следствие:                                                              (1.10)

 

Второй замечательный предел, число е. Число е определяется как следующий предел

 

, или , где число е = 2,718….,                   (1.11)

Число е является основанием натуральных логарифмов .

Пример  1. Вычислить .

Решение. Числитель и знаменатель дроби   тоже стремятся к нулю. Преобразуем функцию, используя первый замечательный предел. Для этого умножим и поделим в числителе на 2 х и учтем, что

.

 

Пример 2. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

 

.

 

Пример 3. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.

 

.

Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень x первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на x, получим

.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Так как  и , то имеет место неопределенность вида . Вспомним, что есть замечательный предел .

Используем этот замечательный предел, преобразовав исходный предел следующим образом:

.

Имеем 

(здесь ),

.

Таким образом,

.