Плоскость и прямая в пространстве

Уравнение плоскости проходящей через три данные точки. Из геометрии известно, что через три точки M ₀, M ₁ и M ₂ можно провести плоскость, причем единственным образом. Следовательно, добавив произвольную (текущую) точку плоскости М, можем построить три вектора М ₀ М, М ₀ М ₁ и М ₀ М ₂, принадлежащих плоскости L. Смешанное произведение лежащих в одной плоскости векторов равно нулю (объем пирамиды, построенной на этих векторах равен нулю, см. формулу (3.15)))

М ₀ М × М ₀ М ₁ ∙ М ₀ М ₂ = 0, (2.3)

или, в развернутой форме,

=0. (2.4)

Это уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (рис. 2.3)

Также плоскость L в пространстве можно задать, если известна точка M ₀(x ₀, y ₀, z ₀), принадлежащая плоскости, и перпендикулярный плоскости вектор – вектор нормали N. Координаты вектора нормали обозначают А, В, С.

N = { A, В, С }.

Рис. 2.3. Уравнение плоскости проходящей через три данные точки

Уравнение плоскости проходящей через данную точку. Если взять любую произвольную (текущую) точку плоскости M (x, y, z) и построить вектор М₀М L, то векторы N и М₀М перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно нулю

N × М₀М =0 Þ A (x – x ₀) + B (y – y ₀) + C (z – z ₀) = 0. (2.5)

Это уравнение называется «уравнение плоскости, проходящей через данную точку» (рис. 2.4).

Рис. 4.4. Уравнение плоскости проходящей через данную точку.

Все уравнения плоскости можно свести к виду

Ax + By + Cz + D = 0. (2.6)

Это уравнение, линейное относительно всех неизвестных, называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если D = 0, то уравнение

Ax + By + Cz = 0

описывает плоскость, проходящую через начало координат.

Прямую в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей. Общие уравнение прямой задаются как система двух уравнений с тремя неизвестными

(2.7)

Если заданы точка , лежащая на прямой, и параллельный прямой (направляющий) вектор S = { m, n, p }, то взяв текущую точку прямой М, постоим лежащий на прямой вектор М₀М. Векторы М₀М и S параллельны, следовательно пропорциональны их проекции на оси координат

. (2.8)

Эти уравнения (цепочка равенств) называются каноническими уравнениями прямой (рис.2.5).

Рис. 2.5. Канонические уравнения прямой.

Если прямая проходит через две известные точки и , то вектор М₀М ₁является направляющим вектором S = М₀М ₁= , т.е. . Подставляя в уравнение (2.8), получим уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки

(2.9)

Обозначив в (2.8) общее отношение за t, и сделав несложные преобразования, получим параметрические уравнения прямой

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А ₁(1,-2,-3), А ₂(-3,1,1), А ₃(4,3,-1), А ₄(3,2,2).

Составить: 1. Уравнение плоскости ,

2. Уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А ₄ на грань .

Решение.

1. Уравнение плоскости запишем, используя уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

Подставив координаты точек А ₁, А ₂, А ₃, получим

Разложив последний определитель по элементам первой строки, вычислим

Или

Раскрывая скобки, получим уравнение плоскоси

2.Уравнение высоты пирамиды представим в виде канонических уравнений прямой (5.8), проходящей через заданную точку А ₄ с известным направляющим вектором S. За направляющий вектор S возьмем нормальный вектор N плоскости , т.е. N = {14, -20, 29}.

Уравнение высоты: .