Правила вычисления пределов функции

Теорема. Разность между функцией и ее пределом в точке х ₀ есть величина бесконечно малая, т. е., если ,

то f (x) = A + a (х) (1.8)

где a (х) бесконечно малая функция в окрестности точки х ₀.

Доказательство. Обозначим за a (х) разность между функцией и ее пределом

a (х) = f (x) – A.

Тогда из определения предела функции следует что, для всех х удовлетворяющих условию ½ x₀- х ½< d. Сравнив полученные соотношения с определением бесконечно малой функции, мы можем утверждать, что a (х) есть величина бесконечно малая.

Справедливы следующие свойства пределов функций:

1. Если предел функции существует, то он единственен.

2. Предел постоянной величины С равен самой постоянной.

Если при х ® x ₀существуют конечные пределы функций f (x) и g (x)

то справедливы следующие утверждения

3. . Действительно

где α(х) и β (х) величины бесконечно малые. Так как сумма бесконечно малых есть величина бесконечно малая, т.е. α(х) + β (х) = γ(х), то

Отсюда следует, что

8. Если функция неотрицательна в окрестности точки x ₀ , то и ее предел при x®x ₀ тоже величине неотрицательная

9. Если f (x) < g (x), то и .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Подставляем вместо х под знак предела единицу, вычислим

, а ,

и, по теореме о пределе частного, получаем, что .

Как правило, применять теоремы о пределах можно только после предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие ситуации: , , , , , которые называются неопределенностями.

Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень x.

При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.

Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах.