Преобразование Лоренца

Далее установим формулы, по которым, зная координаты события в некоторой системе отсчета, можно найти координаты

того же события в другой инерциальной системе отсчета. Для простоты оси координат выберем так, что оси и совпадают, а оси параллельны осям. Другими словами, системы отсчета и движутся относительно друг друга вдоль осей и со скоростью так, что координаты и будут равны координатам и, соответственно.

В рамках классической механики мы имеем, поэтому координаты и будут отличаться на расстояние, пройденное одной системой отсчета относительно другой. Если начало отсчета времени выбрано в момент, когда системы координат совпадали, то это расстояние есть. Следовательно, находим формулы преобразования Галилея:

55

Нетрудно убедиться, что преобразование Галилея не удовлетворяет требованию теории относительности об инвариантности интервалов между событиями.

При установлении релятивистских формул преобразования интервал между двумя событиями можно рассматривать как расстояние между соответствующими мировыми точками в четырехмерной системе координат. Следовательно, искомое преобразование должно оставлять неизменными все длины в четырехмерном пространстве. Но такими преобразованиями являются только параллельные переносы и вращения системы координат. Из них переносы системы координат параллельно самой себе не представляют интереса, так как сводятся просто к переносу начала пространственных координат и изменению момента начала отсчета времени. Таким образом, искомое преобразование должно математически выражаться как вращение четырехмерной системы координат.

В результате релятивистские формулы преобразования для рассматриваемого случая имею вид:

Эти формулы носят название формул преобразования Лоренца. Обратные формулы, связывающие с, легко получаются из (2.3.2) заменой скорости на скорость. Эти же формулы можно получить непосредственно, решая уравнения (2.3.2) относительно.

Нетрудно видеть, что при предельном переходе к классической механике формулы преобразования Лоренца переходят в преобразование Галилея (2.3.1).

При значениях в формулах (2.3.2) координаты становятся мнимыми. Это соответствует утверждению, что движение со скоростью, превышающей скорость света, невозможно. Невозможно также использование системы отсчета, движущейся со скоростью, равной скорости света. В этом случае знаменатели в формулах (2.3.2) обратились бы в нуль.

Рассмотрим далее покоящийся в системе отсчета стержень, расположенный параллельно оси. Его длина в той системе отсчета, в которой он покоится, называется собственной длиной. Тогда длина стержня в какой-либо системе отсчета определяется по формуле

56

Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той системе отсчета, где он покоится. Его длина в системе, в которой он движется со скоростью, уменьшается в отношении. Этот результат теории относительности называется лоренцевым сокращением.

Поскольку поперечные размеры стержня не меняются при рассматриваемом движении, его объем сокращается по аналогичной формуле:

где – собственный объем стержня.

Из преобразования Лоренца (2.3.2) также следует соотношение между промежутками времени в покоящейся и движущейся системах отсчета

которое согласуется с (2.2.6) и (2.2.7).

Отметим также еще одно общее свойство преобразований Лоренца, отличающее их от преобразований Галилея. Последние обладают свойством коммутативности, т.е. совместный результат двух последовательных преобразований Галилея с различными скоростями и не зависит от порядка, в котором эти преобразования производятся. Напротив, результат двух последовательных преобразований Лоренца зависит, вообще говоря, от их последовательности. Исключением является лишь преобразования с параллельными векторами и.

Теперь найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной частицы в одной системе отсчета со скоростью той же частицы в другой системе отсчета.

Пусть система отсчета движется относительно системы отсчета со скоростью вдоль оси. При этом – компонента скорости в системе отсчета, а – компонента скорости в системе отсчета. Согласно (2.3.2) находим

Разделив первые три равенства на четвертое, а также введя скорости

57

получаем:

Формулы (2.3.8) определяют релятивистское преобразование скоростей или закон сложения скоростей в теории относительности. В предельном случае эти формулы переходят в формулы классической механики:.

В частном случае движения частицы параллельно оси имеем

. Поэтому,

Нетрудно убедиться, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, есть скорость, не превышающая скорости света.

Далее выберем оси координат таким образом, чтобы скорость частицы в данный момент лежала в плоскости. Тогда скорость частицы в системе отсчета имеет компоненты, а в системе отсчета –. Здесь и – абсолютные значения скоростей и углы, образованные скоростями с осями и в системах отсчета и, соответственно. Тогда из формул (2.3.8) следует

Эта формула определяет изменение направления скорости при переходе от одной системы отсчета к другой.

Рассмотрим подробнее важный частный случай применения этой формулы – явление аберрации света, связанное с отклонением света при переходе к другой системе отсчета. В этом случае и формула (2.3.10) принимает вид

58

В свою очередь, из формул (2.3.8) находим

Для случая из (2.3.12) с точностью до членов порядка следует

Вводя угол аберрации, находим с той же точностью известную формулу для аберрации света: