Суммой двух векторов и называется вектор, который получается из векторов
и по правилу треугольника или по правилу параллелограмма:
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
1.Сложение векторов коммутативно:
2.Сложение векторов ассоциативно:
3.Для любых двух векторов имеет место неравенство треугольника:
£
Вектор, равный вектору по длине и противоположно направленный, называется противоположным вектором для вектора и обозначается .
Разностью векторов и называется сумма векторов и , т. е.
Произведением вектора на действительное число называется вектор , длина которого , а направление совпадает с направлением вектора , если и противоположно ему, если .
Из определения произведения вектора на число, следует, что два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство: .
Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:
l,mÎR
1) l(m
|
|
2)
3)
Если , то
,
,
.
Признаком коллинеарности двух векторов и является пропорциональность их координат: .
Пример 1.
Даны векторы и l=3.
Найти
Решение. Пользуясь свойствами суммы,разности векторов и произведения вектора на число, получаем:
Пример 2.
Коллинеарны ли векторы
Решение.
т.к. соответствующие координаты не пропорциональны, то векторы не коллинеарны.
Упражнения.
1. По данным векторам и построить каждый из следующих векторов:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
2. По данным векторам и построить каждый из следующих векторов:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3. Проверить коллинеарность векторов и . Установить какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
4. Даны точки и . Проверить, что векторы и коллинеарны.
§ 5. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведение двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначается символом .
Если угол между векторами и обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой
. (1)
Скалярное произведение векторов , можно выразить также формулой
, или .
Из формулы (1) следует, что , если - острый угол, , если - тупой; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны.
Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
|
|
.
Пусть векторы и заданы своими координатами:
, .
Найдем их скалярное произведение:
так как
как скалярные квадраты единичных векторов;
как скалярные произведения взаимно перпендикулярных векторов, то окончательно имеем:
.
Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов:
.
Угол между векторами и находится по формуле
,
или в координатах
.