Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на вектор :
.
Свойства смешанного произведения векторов:
1. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из векторов равен , или все три вектора параллельны одной плоскости (компланарны).
2. .
3. Смешанное произведение некомпланарных ненулевых векторов , по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах .
Пусть , , .
Смешанное произведение в координатной форме имеет вид:
.
Докажем это утверждение.
Так как
то, используя формулу для скалярного произведения, получим
Полученное выражение является разложением определителя третьего порядка по элементам третьей строки:
Условие компланарности векторов :
Пример.
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах :
, , .
Решение.
.
, откуда окончательно имеем .
|
|
Упражнения.
1. Даны три вектора . Вычислить .
2. Установить, компланарны ли векторы , если
1) ,
2) .
3. Доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости.
4. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках .
5. Даны вершины тетраэдра: .
Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
§ 8. Прямая на плоскости.
Уравнение прямой по заданным точке и угловому коэффициенту (где - угол между прямой и осью ):
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом .
Если , то прямая параллельна оси и ее уравнение имеет вид .
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
При равенстве нулю одного из знаменателей условимся считать равным нулю и соответствующий числитель.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору :
.
Общее уравнение прямой .
а) при прямая проходит через начало координат;
б) при прямая параллельна оси ;
в) при прямая параллельна оси ;
г) при - ось ;
д) при - ось .
Уравнение прямой в отрезках на осях:
,
где a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Задачи.
1. Построить прямую, отсекающую на оси отрезок и составляющую с осью угол .
2. Построить прямую, проходящую через начало координат и точку .
3. Определить параметры k и b для каждой из прямых:
1) ; 2); 3) ; 4) .
4. Построить прямые:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
5. Уравнения прямых:
1) ; 2) , привести к виду в отрезках на осях.
6.Определить, какие из точек лежат на прямой и какие не лежат на ней.
§ 9. Задачи для контрольных работ.
|
|
Задание 1.
Вычислить определитель третьего порядка:
;
k-номер варианта.
варианта.
Задание 2.
Векторы и образуют угол . Найти длину вектора , если .
к- номер варианта.
Задание 3.
Коллинеарны ли векторы и , если
k-номер варианта.
Задание 4.
Даны вершины треугольника . Найти площадь треугольника АВС.
k- номер варианта.
Задание 5.
Компланарны ли векторы
.
k-номер варианта.
Задание 6.
Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках A,B,C,D и длину высоты, опущенной из вершины D.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .