Приложение производной.
Геометрический смысл производной 1) f ' (x0) – это тангенс угла наклона касательной к f(x) в т. х₀ (с положительным направлением оси OX) f '(x0) = tg α | |
2) f ' (x0)- это угловой коэффициент касательной к функции у= f (x) в точке с абсциссой х₀. f '(x0)=k |
2.Физический смысл производной:
x (t) - уравнение движения (изменение координаты (x) в зависимости от времени)
S(t) - закон перемещения тела по времени
v(t) = x' (t) (скорость - это производная координаты по времени)
v(t) = S' (t) (скорость - это производная перемещения по времени)
a(t) = v' (t) (ускорение - это производная скорости по времени)
Производная от функции в данной точке- это скорость изменения функции
v(t) = f '(x).
Примеры.
1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t2 – 7t – 20, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) и ускорение (в м/с2) момент времени t = 5 c.
Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)
|
|
Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.
При t = 5 имеем:
Найдем формулу для ускорения: а (t) = v ′(t) = 2 м/с2.
Ответ: 3 м/с, 2 м/с2.
2. Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/6) t2 + 5t + 28, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?
Найдем закон изменения скорости:
Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:
Ответ: 3с.
3. Найдите угловой коэффициент касательной для функции у= 2 +х в точке х0=5.
Воспользуемся формулой k = f '(x0): (х) = (2 +х)/= 2*2х+1= 4х+1.
Далее подставим в полученную формулу значение х0=5: (5)= 4*5+1=21.
Ответ: 21.
4. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М (-3;9) графика функции у= х2+4.
Воспользуемся формулой tg = f '(x0): = f '(x) = (х2+4)/ = 2х+0 = 2х.
Далее подставим в полученную формулу значение х0= -3: tg (-3) =2*(-3) = -6.
Ответ: -6.
Решите задачи:
1.Тело движется по прямой так, что расстояние до него от некоторой точки этой прямой изменяется по закону (м), где - время движения в секундах. Найдите скорость и ускорение тела через 3 секунды после начала движения.
2. Тело движется по прямой так, что расстояние до него от некоторой точки этой прямой изменяется по закону (м), где - время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15 м/с.
3. Тело движется прямолинейно по закону (м). Найдите скорость, и ускорение в момент времени (с). В какой момент времени тело остановится?
|
|
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t2 – 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 9 c.
5. Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t2 – 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
6. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в данной точке:
1) у=-х2+х в точке х0=-2;
2)у= х2-3х+2 в точке х0=3.
7. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении двух тел задана уравнениями: , . В какой момент времени их скорости будут равны?
8. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тел задана уравнениями: , . В какой момент времени скорости их движения будут равными?