Линии действия трех непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке

 

        

 

Задача 1. Груз M ₁ весом Р (рис. 1.2.1, а) подвешен на гибком не­растяжимом тросе ОМ ₁ отклоненном от вертикали на угол α, и удерживается в равновесии при помощи другого гибкого нерастя­жимого троса М ₁ АМ ₂, охватывающего идеальный блок А и несущего на свободном конце груз М ₂. Считая, что при равновесии участок троса М ₁ А горизонтален, определить величину Q веса груза М ₂ и на­тяжение троса ОМ ₁. Размерами груза М ₁ и весом тросов пренебречь.

Рис. 1.2.1

 

 

Аналитический способ.

 

Отсюда находим

.

 

Геометрический способ

 

 

 

Задача 2. Однородный цилиндр А весом Р и радиусом r (рис. 1.2.2, а) опирается на гладкую поверхность цилиндра В радиусом R и удерживается в равновесии при помощи нити CD длиной l, расположенной в поперечной плоскости симметрии. Определить натяжение нити и реакцию цилиндрической поверхности.

Рис. 1.2.2

 

Решение. Рассмотрим равновесие цилиндра А. На него действует сила Р, направленная вертикально вниз. Связями являются гладкая цилиндрическая поверхность В и нить CD. Освободимся от связей. Реакция N (рис. 1.2.2, б) цилиндрической поверхности направлена по общей нормали к цилиндрам и, следовательно, про­ходит через точку Ох. Реакция Т направлена по нити CD. Поскольку на цилиндр А действуют три силы, то на основании теоремы о трех силах их линии действия должны пересекаться в точке Ох. Следовательно, цилиндр А при равновесии займет такое положение, при котором нить CD будет являться продолжением его радиуса.

Построим силовой треугольник (рис. 1.2.2, в). Этот треугольник подобен Δ OO ₁ C. Из подобия треугольников имеем

 

      или       .

 

Отсюда находим

        

 

 

Задача 3. Груз весом Р = 60 кН подвешен при помощи каната, перекинутого через небольшой блок А и идущего к лебедке D. Определить усилия в стержнях АС и ВА крана. Углы, определяющие направления стержней и каната, заданы на рис. 1.2.6.

.

 

Рис. 1.2.6

 

Решение. Рассмотрим равновесие узла А крана, к которому приложены сила Р, реакции стержней АС и АВ и сила натяжения каната AD. Обозна­чим реакцию стержня АВ через S ₁ реакцию стержня АС через S ₂ и силу натяжения каната AD через   Т.

Реакции стержней S ₁ и S ₂ направим вдоль этих стержней от узла А; сила Т направлена, очевидно, вдоль каната от А к D, так как канат растянут. Кроме того, Т=Р, так как при отсутствии трения в блоке натяжение каната, перекинутого через этот блок, во всех точках одинаково.

 

 

Так как узел А находится в равновесии под действием сил S ₁, S ₂, P, Т, то можно составить два уравнения равновесия этой системы сходящихся сил.

Выберем оси координат, как указано на рис. 1.2.6, найдем проекцию каждой силы на эти оси и составим два уравнения равновесия, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на каждую из координатных осей:

 

 

Из второго уравнения находим:

 

  кН,

S ₂ =-129,1 кН.

Теперь из первого уравнения получаем:

 

  кН.

 

Так как полученное значение силы S ₂ отрицательно, то сила S ₂ имеет направление, противоположное направлению, выбранному на рисунке, т.е. она направлена от С к   А, и, следовательно, стержень   АС сжат.

 

 

Задачу можно решить и геометрически, построив замкнутый многоугольник сил Т, Р, S ₁, S ₂ (рис. 1.2.7).

 

Рис. 1.2.7

 

Направления сил S ₁ и S ₂ найдем после того, как обойдем периметр построенного силового многоугольника, причем направ­ление этого обхода определяется направлением известных сил   Р  и   Т.

Измерив стороны cd и da силового многоугольника выбранной единицей масштаба, найдем величину искомых сил   S ₁ и   S ₂. Так как углы между силами Т, Р, S ₁, S ₂ заданы, то можно найти углы силового многоугольника, а затем вычислить и длины двух неизвестных его сторон. В самом деле, из построения силового многоугольника следует, что

 

,

а потому

.

 

Если соединим точки а и с, то треугольник аbс будет равно­бедренным, так как   Р = Т, а потому

.

 

Отсюда следует, что

.

 

Применяя теперь к треугольнику adc теорему синусов, получим:

 

 ,

откуда

,

.

 

Чтобы определить, будут ли стержни АВ и АС сжаты или растянуты (рис. 1.2.7), перенесем векторы   S ₁ и   S ₂ с силового многоугольника на стержни   АВ и АС, тогда сила S ₂ будет направлена к узлу А, а сила S ₁, от узла   А, а потому стержень АС сжат, а стержень АВ растянут.

 

Задача 4.. Жесткая рама (рис. 1.2.8) закреплена в точке А при помощи неподвижного цилиндрического шарнира, а в точке В опирается катками на гладкую наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол α = 30°. На горизонтальном участке CD рама находится под действием равномерно распределенной вертикаль­ной нагрузки интенсивности   q = 5 кН/м. Определить реакции опор в точках А и В. если CD = 2 a = 2,1 м и ОК = b = .

 

Рис. 1.2.8

Решение.

 

Рассмотрим теперь аналитический способ решения. Начало ко­ординат выберем в точке О, ось у направим по прямой ОЕ, а ось х — по прямой АО. Проектируя силы Q, R_A и R_B на оси х и у, получим следующие два уравнения равновесия:

Из первого уравнения находим

 

.

 

Тогда из второго уравнения имеем

 

Отсюда

 

 

 

 

Задача 5. Груз весом G = 2 кН (рис. 1.2.15) удерживается краном, состоящим из двух невесомых стержней в шарнирах АВ и АС, прикрепленных к вертикальной стене и составляю­щих с ней углы   α ₁ = 60° и α ₂ = 40°. В точке А подвешен блок, через который перекинут грузовой трос, идущий к блоку в точке D и составляющий со стеной угол α ₃ = 60°.

Весом троса и блока, а также размерами блока можно пренебречь. Определить усилия в стержнях.

                                      

                                 

 

 

Реакции опорных стержней направлены, как извест­но, вдоль этих стержней. Направим их внутрь стержней, считая изначально стержни растянутыми.

Составим теперь уравнения равновесия как уравне­ния проекций сил на оси (для системы сходящихся сил), учитывая, что силы R ₁, R ₂ и N ₂ составляют углы α ₁, α ₂ и α ₃ с осью у.

 

 

Отсюда, учитывая, что , получаем

 

 

Решая эту систему уравнений, находим R ₁ = 0,611 кН, R ₂ = –3,52 кН. Знак «минус» у величины реакции R ₂ озна­чает, что она имеет направление, противоположное при­нятому, то есть стержень АС не растянут, а сжат.