Решение простейших задач в координатах

   Системой координат на плоскости называется объединение точки О этой плоскости и базиса { е₁, е₂ } соответствующего двумерного векторного подпространства. Система координат обозначается так: (О, е₁,е₂).

Если дана система координат (О, е₁,е₂),то координатами точки М в этой системе координат называются координаты её радиус вектора ОМ в базисе{ е₁,е ₂},     т.е.   если  ОМ = х е₁ + у е₂, то числа х и у – координаты точки М, М(х,у).

Если дана система координат (О, е₁,е ₂)   и А(х₁,у₁), В(х₂,у₂) то вектор АВ имеет координаты АВ (х₂ – х₁, у₂ – у₁).

Если дана прямоугольная декартова система координат (О, i, j ) и

                                             ___________________

А(х₁,у₁), В(х₂,у₂), то │АВ│= √ (х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)².

 

 

 89. Дана прямоугольная декартова система координат (О, i, j). Построить точки А(0, -2), В(-1,0), С(4, -2), Д(1/2, -2/3).

90. Дана аффинная система координат (О, е₁,е₂). Построить точки А(3,0), В(0,-4), С(2,3), Д(-5, ½).

91. Дана система координат (О, е₁,е₂), точки А(1,-1), В(2,5), С(3,4) и векторы а (8,-3), в (2,-2). Найти 1) координаты векторов АВ, ВС,

 б) координаты точек М и К, если СМ = а, КВ = в.  

92. Дана система координат (О, е₁,е₂) и параллелограмм АВСД с точкой пересечения диагоналей О. Известно, что стороны АВ и АД параллельны соответственно осям ОХ и ОУ, │АВ│= 4│ е₁ │, │АД│= 2│ е₂ │. Найти координаты вершин параллелограмма.

93. Найти координаты вершин квадрата АВСД со стороной АВ = 8 в прямоугольной декартовой системе координат (О, i, j), если

1) АС ВД = О и АВ ↑↑ i,  2) АС ВД = О и АС ↑↑ i, 3) О – середина АВ, АВ ↑↑ i, АД  ↑↑ j.

94. Дан правильный шестиугольник АВСДEF. Найти координаты его вершин и центра О в системе координат (О, i, j), i = АВ,  j ↑↑ АЕ.

95. АВСД – равнобочная трапеция, большее основание АД которой равно 10, высота ВН равна 2, А = 30°, О – середина АД. Найти координаты вершин трапеции в системе координат (О, i, j), если АД ↑↑ i, НВ  ↑↑ j.

96. Вершины четырехугольника находятся в точках А(1,-3), В(8,0), С(4,8), Д(-3,5). Доказать, что АВСД – параллелограмм.

97. Вершины четырехугольника находятся в точках А(1,1), В(2,3), С(5,0), Д(7,-5). Доказать, что АВСД – трапеция.

98. АВСД – параллелограмм, А(-2,1), В(1,3), С(4,0). Найти координаты вершины Д.

 

В задачах № 99- 107 система координат прямоугольная декартова.

99. Найти расстояния между точками А и В, если 1)А(4,3), В(7,7),

 2) А(3,1), В(-2,4), 3) А(12,-1), В(0,4).

100. Найти расстояние от начала координат до каждой из точек

1) А(11,4), 2) В(-3,-4), 3) С(5,-12).

101. Найти координаты точек, лежащих на осях координат и равноудаленных от точек А(1,1) и В(3,7).

102. Найти координаты точек, лежащих на осях координат и отстоящих от точки А(-5,9) на расстоянии 15.

    

ЗАДАЧА № 17

В прямоугольной декартовой системе координат даны координаты вершин треугольника А(4,5), В(3,1), С(11,-1). Доказать, что треугольник АВС прямоугольный.

 

РЕШЕНИЕ

 

Первый способ.

1)  Найдем координаты векторов АВ, ВС, СА.

АВ (-1, -4), ВС (8, -2), СА (-7,6).

2)  Найдем скалярные произведения векторов АВ СА, АВ ВС,

ВС СА. АВ СА= 7 – 24 = -17, АВ ВС = -8 + 8 = 0,

ВС СА = -56 – 12 = -68.

3) Так как скалярное произведение векторов АВ и ВС равно нулю, то значит эти векторы перпендикулярны и, следовательно, угол АВС прямой, т.е. треугольник АВС прямоугольный.

 

Второй способ.

 1) Найдем квадраты длин сторон треугольника АВС.

АВ² = (3 – 4)² + (1 – 5)² = 17, АС² = (11 – 4)² + (-1 -5)² = 85,

ВС² = (11 – 3)² + (-1 -1)² = 68.

2) Так как 85 = 17 + 68, то АС² = АВ² + ВС².Следовательно, по обратной теореме Пифагора треугольник АВС прямоугольный. ■

ЗАДАЧА № 18

Дана прямоугольная декартова система координат. А(1,-2), В(3,4) – две вершины квадрата АВСД. Найти координаты вершин С и Д.

 

РЕШЕНИЕ

1)Пусть точка С имеет координаты С(х, у).

Так как АВСД – квадрат, то │АВ│=│ВС│ и АВ ВС.

2) Так как │АВ│=│ВС│, то │АВ│²=│ВС│², отсюда получаем

(3 – 1)² + (4 + 2)² = (х – 3)² + (4 – у)² или

                    (х – 3)² + (4 – у)² = 40 (1).

3) Так как АВ ВС, то АВ ВС, значит АВ ВС = 0, отсюда

                      2(х – 3) + 6 (у – 4) = 0 (2)

3) Решая систему, состоящую из уравнений (1) и (2)

х² + у² -6х -8у -15 = 0 

х + 3у – 15 = 0             получаем два решения

х₁ = 9, у₁ = 2 и х₂ = -3, у₂ = 6, т.е. существуют две точки С: С₁(9,2) и

С₂(-3,6).

4) Найдем координаты точки Д₁(х,у). Так как АВС₁Д₁ – квадрат, то

АВ = Д₁С₁. Но АВ (2,6), Д₁С₁ (9 – х, 2 – у), поэтому координаты этих векторов соответственно равны, т.е. 9 – х = 2, 2 – у = 6. и х = 7, у = -4. значит Д₁(7, -4)

5) Аналогично находим координаты точки Д₂  – Д ₂(-5,0).

 

 ОТВЕТ. Существует два квадрата:АВС₁Д₁ и АВС₂Д₂, где

С₁(9,2), Д₁(7,-4) иС₂ (-3,6), Д₂ (-5,0).

 

103. Определить вид треугольника АВС, если

1) А(0,0), В(2,0), С(1, ),

2) А(8,0), В(1,-1), С(3,5),

3) А(2,3), В(4,-1), с(8,1).

104. Даны две смежные вершины А(-2,1) и В(3,3) квадрата АВСД. Найти координаты двух других вершин.

105. Даны две вершины А(-3,2) и В(1,4) равностороннего треугольника АВС. Найти координаты вершины С.

106. Найти центр окружности, проходящей через точку А(-4,2) и касающейся оси ОХ в точке В(2,0).

107. АВСДEF – правильный шестиугольник с центром О Найти координаты его вершин в системе координат (О, i, j), если ОА = i.