2020-10-12
115
Означення 1. Впорядковану сукупність (х1, х2,..., хn) n дійсних чисел називають n- вимірним вектором, а числа хі (і= 1, 2,..., n) – компонентами, або координатами вектора
Приклад 1. Якщо, деякий автомобільний завод повинен випустити за зміну 50 легкових автомобілів, 100 вантажних, 10 автобусів, 50 комплектів запчастин для легкових автомобілів і 150 комплектів запчастин для вантажних автомобілів і автобусів, то виробничу програму цього заводу можна записати у вигляді вектора (50, 100, 10, 50, 150), який містить п’ять компонентів.
Економічна ілюстрація. Економічна ілюстрація n – вимірного векторного простору: простір благ (товарів). Під товаром, ми будемо розуміти деяке благо або послугу, здійснюється продаж в визначений час в визначеному місці. Уявимо, що існує скінчене число наявних товарів n; якості кожного з них, придбаних споживачем, характеризуются набором товарів
х=( х1, х2,..., хn )
де через хі позначається кількість і-го блага, набутого споживачем. Будемо рахувати, що всі товари володіють властивістю довільної подільності, так що може бути куплена будь-яка невід’ємна кількість кожного з них. Тоді всі можливі набори товарів являються векторами простору товарів
С={ х=( х1, х2,..., хn ) | хі ≥ 0, і=1,2, …, n}
Тримірну або двомірну векторну величину геометрично можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком – вектором, довжина якого дорівнює числовому значенню векторної величини (у вибраному масштабі) і напрям співпадає з напрямом цієї величини. Вектор визначають двома точками: перша – це початок його, друга – кінець. Вектор, початком якого є точка А, а кінцем – точка В, позначається символом 
. Інколи вектор позначають однією рядковою буквою латинського алфавіту 
.
Довжиною або модулем в ектора називається довжина відрізка АВ і позначається символом 
. Вектор називається нульовим, якщо початок і кінець його збігаються. Позначається нульовий вектор символом 
. Абсолютна величина нульового вектора дорівнює нулеві.
Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій, або на паралельних прямих. Два вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, мають однакові напрями і рівні модулі. Два колінеарні вектори, які мають однакову довжину і протилежні напрямки, називаються взаємнопротилежними. Вектор, протилежний вектору 
, позначається як 
. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним. Три і більше векторів називаються компланарними, якщо вони паралельні одній площині або лежать в одній площині.
Над векторами можна виконувати певні математичні операції. Лінійними з них є додавання та множення вектора на число. Додавати вектори геометрично можна за правилом паралелограма та правилом трикутника.
Правило трикутника:
Рис.1
Правило паралелограма:
Рис.2
Властивості:
1. комутативність
2. асоціативність
3. 
4. 
Різницею 
вектора і 
називається вектор 
або 
, який в сумі з вектором 
дає вектор 
, тобто 
Рис.3
Означення 2. Добутком 
вектора 
на число 
, 
називають вектор 
, який задовольняє такі умови:
1) 
колінеарний 
;
2) 
;
3) 
і однаково напрямлені, якщо 
і протилежно, якщо 
.
Властивості множення вектора на число:
1. розподільний закон відносно скаляра:
2. розподільний закон відносно вектора:
3. сполучний закон відносно скаляра:
Означення 3. Вектор, довжина, якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором або ортом вектора і позначається 
.
