Означення 7. Впорядкована пара неколінеарних векторів називається базою, або базисом на площині.
Таке ж означення і в базисі R3:
Має місце теорема:
Теорема 5. Кожен вектор на площині єдиним способом розкладається на пару неколінеарних векторів
(4)
Співвідношення (4) називають розкладом вектора в базисі . Числа називають координатами вектора вектора в базисі і записують
Трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо спостерігач, який знаходиться в початку кінців векторів у вказаному порядку рухається за часовою стрілкою. В противному випадку – ліва трійка. Всі праві
Базисом у просторі (або ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.
Теорема 6. Якщо в просторі задано базис то будь-яку впорядковану трійку некомпланарних векторів ,, можна однозначно подати як лінійну комбінацію базисних векторів, тобто у вигляді:
(5)
Рівність(5) називається розкладом вектора в базисі . Числа називаються координатами вектора в базисі , і записують це:
|
|
Приклад 2. Чи можуть вектори , , утворювати базис? Якщо так то знайти розклад по даному базису?
Розв’язання:
Нехай дано вектор . Перевіримо, чи утворюють вектори , , базис. Нехай лінійна комбінація цих векторів дорівнює нулю тобто отримаємо:
,
Через координати ця рівність має вигляд:
, або
Для знаходження отримаємо систему рівнянь
Визначник системи . Значить, дана однорідна система має тільки нульові розв’язки . Отже, вектори , , -лінійно незалежні, а тому утворюють базис.
Відповідь: .
Якщо вектори попарноперпендикулярні і довжина кожного із них дорівнює одиниці то базис називається ортонормованим, а координати х1, х2, х3 – прямокутними. Базисні вектори ортонормованого базису будемо позначати .