Принцип суперпозиции

Энергетические соотношения

Воздействие Отклик

Принцип суперпозиции (интеграл Дюамеля)

Принцип суперпозиции (наложения) выполняется в любой линейной системе. Применительно к задачам излучения, он выполняется тогда, когда в исходной электродинамической задаче отсутствуют нелинейные и нестационарные среды. Используя принцип суперпозиции, можно получить решение нестационарной задачи для произвольной временной зависимости источника, если предварительно было получено решение для временной зависимости источника в виде дельта-функции Дирака (импульсная характеристика) или функции Хевисайда (переходная функция). Формулу, отражающую принцип наложения в общем виде и позволяющую получить такое решение часто называют интегралом Дюамеля.

Проиллюстрируем получение данной формулы на примере, когда нам известна переходная функция (решение некоторой электродинамической задачи), т.е. источник тока (заряда, поля) с временной зависимостью в виде функции Хевисайда (ступенчатой функции, единичного скачка) порождает в некоторой точке наблюдения напряженность поля (электрического или магнитного) с временной зависимостью. Данная реакция системы должна запаздывать во времени по отношению к воздействию исходя из принципа причинности.

f 0(t)

t

f (t)

t

F 0(t)

t

F (t)

t

Аппроксимируем линейно нарастающий сигнал тремя ступеньками:

Подставим в 1-е. уравнение Максвелла


или
,

требуя выполнения равенства, называемого калибровкой Лоренца, получаем волновое уравнение
.
Для скалярного уравнения, подставляя в

Решения волновых уравнений известны и имеют вид
,

где

Выражения для полей


Скалярный потенциал найдем из калибровки Лоренца:
, тогда

или в декартовой системе координат

Энергия поля в объёме

Вектор Пойнтинга
Уравнение баланса мощностей:

-вектор сторонней плотности тока

Воздействие Отклик

f 0(t)

t

f (t)

t

F0(t)

t

F(t)

t

A

f (t)

t

или

t

f (t)

Аппроксимируем линейно нарастающий сигнал, используя N ступенек

Перейдем к пределу при,,,:

Полученная формула и есть временная зависимость поля в заданной точке при возбуждении источника сигналом с произвольной временной зависимостью поля. Интегрируя ее по частям и накладывая ограничение, что возбуждающий сигнал в начальный момент равен нулю и, соответствуя принципу причинности, имеем, можем получить альтернативное выражение, которое может быть более удобно для численного счета, если переходная функция системы есть более гладкая функция, чем возбуждающий сигнал:

.