Метод граничных элементов

Численные методы решения краевых задач разделяют на 2 класса:

- Класс, который требует использование аппроксимации по всей области исследования.

- Класс, который требует аппроксимации только на границе исследуемой области.

К первому классу относят разновидности метода конечных разностей и разновидностей метода граничных эл-ов. Различие между этими подходами можно проиллюстрировать область исследования R с границей С.

Метод конечных эл-ов: Метод граничных эл-ов:

Таким образом, конечных эл-ов требует, чтобы вся область была разбита на сетку эл-ов и цепь решения задач состоит в определении значений искомой ф-ции в узлах сетки. Решение же в промежутках между узлами выражаются в простой приближенной форме через значение узла, связывая эти приближенные выражения с исходными ДУ частных производных. В конечном счете, приходят к сис-ме линейно-алгебраических у-ний, в которых неизвестные пар-ры, а именно, узловые значения, выражаются через известные величины в узлах сетки, находящихся на границе области исследования.

В рез-те получается алгебраическая сис-ма у-ний большой размерности, но при этом являю­щаяся разряженной, т.к. в каждом у-нии представлены значения искомой ф-ции в соседних уз­лах.

В методе граничных эл-ов численное решение строиться на основе полученных предвари­тельно, аналитических решениях для простых сингулярных задач.

Условием применимости этих решений явл-ся выполнение граничных условий на границе ис­следуемой области. Поскольку сингулярное решение удовлетворяет в исследуемой исходным ДУ частных производных, то отпадает необходимость разбиения самой области на эл-ты. В этом случае сис-ма у-ний, подлежащая, в конечном счете, расчету, оказывается значительно меньше по числу у-ний, но сами у-ния явл-ся полными.

Сингулярным наз-ся решения, которые получают для однородных, неограниченных или бесконечных областей, в случае, когда в этой области имеется точка с заданной неоднородно­стью (возмущением, например, тепловым источником или тепловым стоком).

В случае если в области имеется несколько возмущений, то решение м.б. получено путем суммирования отдельных решений.

Поясним технику метода граничных эл-ов:

Для этого рассм-м область R, ограниченную контуром С. Часто легче находить аналитическое решение ДУ частных производных, для неограниченной области, чем для фактически заданной области. Поэтому предположим, что наша область R находится внутри бесконечной, неограни­ченной области. Предположим так же, что нам известно некоторое аналитическое решение для всей бесконечной области и это решение удовлетворяет граничным условиям, заданным на границе С. В этом случае мы можем считать, что мы имеет данные для исходной задачи. На практике чрезвычайно маловероятны, чтобы сингулярное решение удовлетворяло необходи­мым граничным условиям.

В то же время можно найти набор сингулярных решений, которые, будучи сложными, дадут приближено-верное значение на границе С. Эту процедуру можно выполнять следующим образом:

Разделим границу С на ряд эл-ов и условимся, что нас удовлетворяет приближенное решение, которое отвечает заданным условиям, на границе С, только в средних точках эл-ов, следова­тельно, если разделить границу на n элементов, то необходимо иметь n сингулярных решений, которые в сумме дадут требуемые условия.

Далее возникает вопрос, где расположить сингулярность, и какова д.б. их интенсивность.

Сингулярности предлагается разместить по одной в центре из каждых эл-ов, тогда суммарное воздействие всех сингулярностей на произвольный эл-нт, можно выразить через интенсив­ность сингулярности для всех других эл-ов. Хотя значение этих интенсивностей не известно, зато из граничных условий известен рез-т их совместного действия. Следовательно, можно за­писать систему из n – линейных алгебраических у-ний, относительно m – неизвестных значе­ний интенсивности сингулярности. Как только эти решения будут получены, можно будет оп­ределить значения искомой ф-ции, в любой точке ряда. Т.о. можно произвольно выбирать точки, в которых желательно знать значения искомой ф-ции. Т.к. при этом в основе метода ле­жат аналитические решения, то этот метод потенциально более точен, чем метод конечных эл-ов или метод конечных разностей.

Физические величины, которые связаны с производными полученного решения, например, теп­ловой поток можно получить, математически дифференцируя сингулярные решения. Т.к. полученные решения справедливы для неограниченной области, то на основе их можно получать решения вне области R. Если будут соблюдены св-ва области R, что часто использу­ется для решения задач для технических объектов, классифицируемые как оболочки.