Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции y=f(x) заданы значения y _i= f(x_i) для равноотстоящих значений независимой переменной x_i=x ₀+ i*h (i=0,n), где h - шаг интерполяции.

Требуется подобрать полином P_n(x) степени не выше n, принимающий в точках x_i значения P_n(x_i)=y_i (i=0,n)

Ньютон решил поставленную задачу:

P_n(x)=y ₀+ qy ++y₀,

где q= .

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Нью-тона.

Каков физический смысл имеет переменная q в первой интерполяционной формулой Ньютона.

q= ,

где k - число шагов, необходимых для достижения точки x, исходя из точки x ₀.

Рассмотрим частные случаи n= 1 или n= 2:

n= 1 P ₁ (x)=y ₀+ qy ₀ – линейное интерполирование

n= 2 P ₂ (x)=y ₀+ q y ₀+² y ₀–параболическое (квадратичное) интерполирование

Пример: необходимо построить интерполяционный полином Ньютона для функции y= на отрезке c h= 1

X
Y	0.25	0.2	0.167	0.143	0.125

Горизонтальная таблица разностей.

x	y	y	2y	3y	4y
	0.25	-0.05	0.017	-0.008	0.005
	0.2	-0.033	0.009	-0.003
	0.167	-0.024	0.006
	0.143	-0.018
	0.125

Т.о., при наличии 5 точек максимальный порядок существующей конечной разности =4, максимальная степень полинома =4.

P ₄ (x)=y ₀+ q y ₀++y₀+

Как пользоваться формулой?

Допустим, необходимо определить значение в точке x= 4.4

Узловые точки x ₀=4, h= 1,тогда q=

Точное значение =0.22727.