Пусть дана нелинейная система уравнений
,
где - вектор-функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой области . Положим, что - есть точка, лежащая в вместе со своей замкнутой -окрестностью. При этом выполняются следующие условия:
1) матрица Якоби при имеет обратную функцию
2)
3)
4) постоянные удовлетворяют неравенству
Тогда процесс Ньютона при начальном приблежении сходится к решению - есть решение такое, что
Для проверки условия даёт оценку расходимости начального и первого приблежения.