Градиент функции U

- набла или grad - есть вектор приложенный к точке , имеющий направление нормали. Из векторных произведений

, (3)

Как определить ? Для этого рассматривают скалярную функцию :

Уравнение 3 можно преобразовать так, чтобы не было явного выражения градиента. Введем обозначения , тогда итерационная формула градиентного метода будет иметь вид:

,

где

Вычисления производятся до тех пор, пока не станет справедливым следующее неравенство:

e,

где e - заданная точность вычисления.

Пример. Дана система нелинейных уравнений:

Найти решение системы градиентным методом с точностью e=0,01

Определим начальное приближение как:

Вектор-функция имеет вид:

Якобиан, или матрица частных производных имеет вид:

1 итерация

2 итерация

Решение системы нелинейных уравнений представлено в таблице:

K	x	½Dx½	y	½Dy½	z	½Dz½
	0.000	0,100	0.000	0,200	0.000	0,300
	0.100	0,030	-0.200	0,250	0.300	0,250
	0,130	0,095	0,050	0,251	0,050	0,209
	0,035	0,018	-0,201	0,016	0,259	0,013
	0,017	0,003	-0,185	0,007	0,246	0,001
	0,014		-0,178		0,245

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид: