Разыгрывание случайной величины, распределенной нормально

Разыгрывание непрерывной случайной величины

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х, т.е. получить последовательность ее возможных значений x_i (i = 1, 2, …). При этом функция распределения F (X) известна.

Существует следующая теорема.

Если r_i – случайное число, то возможное значение x_i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с известной функцией распределения F (X), соответствующее r_i, является корнем уравнения F (x_i) = r_i.

Алгоритм разыгрывания непрерывной случайной величины:

1. Необходимо выбрать случайное число r_i.

2. Приравнять выбранное случайное число известной функции распределения F (X) и получить уравнение F (x_i) = r_i.

3. Решить данное уравнение относительно x_i. Полученное значение x_i будет соответствовать одновременно и случайному числу r_i, и заданному закону распределения F (X).

Известно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание М (R) = 1/2, а дисперсия D (R) =1/12.

Составим сумму n независимых случайных величин R_j (j = 1, 2, …, n), которые распределены равномерно в интервале (0, 1). Получим .

Пронормируем эту сумму. Для этого найдем сначала ее математическое ожидание и дисперсию. Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма R_j содержит n слагаемых. Математическое ожидание каждого слагаемого равно 1/2. Следовательно, математическое ожидание суммы равно:

.

Аналогично для дисперсии суммы R_j получим:

.

Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы R_j:

.

Теперь пронормируем сумму R_j.

Для этого вычтем из суммы R_j математическое ожидание этой суммы и разделим на среднее квадратическое отклонение суммы R_j. Получим:

, то есть .

На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей при n ® ¥ распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному закону с параметрами a = 0 и s = 1.

Если требуется разыграть значения нормальной ненормированной случайной величины с математическим ожиданием a отличным от нуля и s отличным от единицы, то сначала разыгрывают возможные значения x_i нормированной случайной величины, а затем находят искомое значение по формуле , которая получена из соотношения .

Таблица 8.1

Формулы для моделирования случайных величин

Закон распределения случайной величины	Плотность распределения	Формула для моделирования случайной величины
Экспоненциальный
Вейбула
Гамма-распределение (h – целые числа)
Нормальное