Под случайной величиной понимают числовой результат эксперимента со случайными исходами. Если эксперимент состоит в анализе партии изготовленных деталей, то случайной величиной может быть количество дефектных деталей, или диаметр наудачу взятой детали, или отклонение размера детали от номинального значения. При оценке надежности устройства случайная величина — это количество отказов за некоторый промежуток времени, или время, проработанное устройством до первого отказа.
Если множество значений случайной величины может быть конечным или счетным (количество дефектных деталей, количество отказов), то такая случайная величина называется дискретной. В других ситуациях случайная величина принимает любое значение из некоторого промежутка. Это непрерывная случайная величина.
Обозначим случайную величину заглавной буквой X, а конкретные значения, которые может принимать эта величина — х. Случайная величина считается заданной, если известен закон распределения.
Можно задать случайную величину с помощью функции распределения — вероятности того, что случайная величина X окажется меньше некоторого х.
F(x) = Р(Х< х). (3.9)
F(x) = F'(x)
Закон распределения непрерывной случайной величины полностью определяется ее плотностью.
P(x1≤x<x2)=F(x2)-F(x1)
Очевидно понятие плотности распределения, в отличие от функции распределения, справедливо только для непрерывной величины. График функции f(х) называется кривой распределения. При известной плотности распределения функция распределения вычисляется как интеграл.
—
Закон распределения дает полную информацию о случайной величине, однако часто в практических задачах удобнее охарактеризовать случайную величину менее полно, но более наглядно — с помощью нескольких числовых характеристик. Важнейшей среди них является математическое ожидание — это среднее значение, около которого группируются все значения случайной величины. Математическое ожидание (будем обозначать его тх или М[Х] для дискретной случайной величины вычисляется по формуле
тх=∑xiPi (3.16)
для непрерывной —
тх= (3.17)
Свойства математического ожидания: математическое ожидание постоянной равно этой постоянной; постоянный множитель можно ∑ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Иногда в расчетах используют и другие характеристики центра группирования случайной величины. Мода Мох дискретной случайной величины — это наиболее вероятное значение этой величины; для непрерывной величины мода — это координата (абсцисса) максимума кривой распределения.
Медиана Мех — абсцисса кривой распределения, в которой площадь под кривой делится пополам. Если кривая распределения симметрична, то математическое ожидание, мода и медиана совпадают; в противном случае они различны.
Квантилью порядка р называется число zp для которого функция распределения F(x) принимает значение р:
F(zp)=p. (3.18)
Нетрудно видеть, что медиана случайной величины X есть квантиль, соответствующая вероятности 0,5:
Мех = z0, 5.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние случайной величины относительно среднего значения, вводится специальная характеристика - дисперсия. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания:
Dx= М[{Х- тх)2]. (3.19)
С учетом (3.16) и (3.17) получим зависимости для расчета дисперсий дискретной случайной величины:
Dx = ∑ (хi- mx)2pi (3.21)
и непрерывной случайной величины
Dx = (х-тх)2f(x)dx.
Основные свойства дисперсии: дисперсия постоянной равна нулю; постоянный множитель можно выносить из-под знака дисперсии, возводя его в квадрат; для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий.
Среднеквадратичное, или стандартное, отклонение случайной величины — это положительное значение квадратного корня из дисперсии:
Обобщение понятия дисперсия - центральный момент к- го порядка:
μк[Х] = М[(Х-тх)k],
μ2[X]=Dx
μ1[X]=0
Центральные моменты используются, в частности, для расчета характеристик формы кривой распределения.
Коэффициент асимметрии
ax=
характеризует несимметричность кривой распределения.
А коэффициент эксцесса - островершинность или крутость кривой распределения: для нормального распределения эксцесс равен нулю; положительный эксцесс имеют распределения более островершинные, чем нормальные.