Пример. Пусть при совместном анализе точности группы измерительных приборов – двойных микроскопов, нас интересует вопрос

Пусть при совместном анализе точности группы измерительных приборов – двойных микроскопов, нас интересует вопрос, можно ли считать их систематические ошибки одинаковыми.

Пусть число приборов m измеряют чистоту поверхности n раз, n измерений рассмотрим как выборку из генеральной совокупности.

Результаты измерения чистоты поверхности

№ прибора, Сi	№ измерения, j
			…	n
	Х11	Х12	Х13	…	Х1n→
	…	…	…	…	X2n→
	…	…	…	…	…
	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…
m	Xm1	Xm2	Xm3	…	Xmn→

Таблица - Результаты измерения чистоты поверхности.

- Среднее арифметическое из n измерений выполненных на 1-ом приборе.

.

,

- общее среднее,

mn – общее число измерений.

Суммирование по j при постоянном i дает сумму по всем наблюдениям i-ой серии. Дальнейшее суммирование по i дает итог по всем приборам.

,

Опуская промежуточные преобразования, получаем

Н₀:

S=0

Основное тождество можно записать в виде:

Q=Q₁+Q₂,

где Q=,

Q₁=,

Q₂=.

Слагаемое Q₁ представляет сумму квадратов разности между средним отдельных серий приборов и общей средней по всей совокупности наблюдений.

Q₂ – сумма квадратов отклонений (между группами) и представляет собой степень расхождения систематической погрешности приборов. Ее называют рассеиванием по факторам.

Q₂ представляет собой сумму квадратов разности между отдельными наблюдениями и средней соответствующей серии. Эта сумма называется суммой квадратических отклонений внутри группы. Она характеризует «остаточное рассеивание» случайной погрешности опытов.

Q называется общей (полной) суммой квадратических отклонений отдельных наблюдений от общего среднего.

Равенство Q=Q₁+Q₂ показывает что общее рассеивание показаний приборов измерения суммой Q складывается из 2 компонентов Q₁ и Q₂ характеристик рассеивания между приборами т.е. различия между их систематическими ошибками Q₁ и рассеиваниями внутри приборов характеризующих отклонения по условию для всех приборов.

Предположим что гипотеза о равенстве систематической погрешности верна и потому нормальное распределение всех величин тождественны, т.е. имеют одинаковый центр и дисперсию σ².

Все mn наблюдений можно рассмотреть как выборку из одной и той же нормальной совокупности.

- несмещенная оценка σ²,

с mn-1 числом степеней свободы.

Средняя арифметическая из m средних равна.

,

.

с m(n-1) – оценка.

При детальном изучении можно видеть, что Q₁ и Q₂ - независимы.

Критерий.

При нашей гипотезе будет следовать F-распределение с m-1 и m(n-1) степенями свободы.

Выбирая уровень значимости q, находим по таблицам приложения соответствующую предельную q вероятность

С другой стороны, допустим, что гипотеза о равенстве центров распределения не верна и центры не равны друг другу, но параметр σ² во всех m совокупностях один и тот же, тогда сумма Q₂ не изменяющаяся при замене на имеет распределение ² с m(n-1) степенями свободы, а по прежнему является несмещенной оценкой для σ².

С другой стороны числитель F учитывает систематическое расхождение между центрами распределения ν_i и имеет тенденцию роста при возрастании этих расхождений, тем самым и показатель F имеет тенденцию роста и становится тем больше чем больше отклоняется от предполагаемого равенства центров ν_i.

Поэтому правило проверки гипотезы дается в следующем виде:

Гипотеза принимается, если и отбрасывается, если неравенство перевернуто.

Сравнивая дисперсию по факторами с остаточной дисперсией, по величине их отношений судят насколько рельефно проявляется влияние факторов.

В этом сравнении и заключается основная идея дисперсионного анализа.

Общая схема дисперсионного анализа.

Таблица - Схема однофакторного дисперсионного анализа.

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
Между приборами (по факторам)		m-1
Внутри приборов		mn-m
Полная или общая		mn-1

Пример:

n = 5 – критерий частоты поверхности на 3 двойных микроскопах.

Измерения приведены в сотых долях микрон.

Таблица – Измерения приборов

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
Между приборами (по факторам)
Внутри приборов			110,7
Полная или общая			241,3

Проводим проверку нулевой гипотезы с помощью F распределения.

При 2 степенях свободы большей дисперсии и 12 степенях свободы меньшей дисперсии по таблице приложений находим критические границы для F.

При 5% → 3,88

При 1% → 6,93

Полученный из наблюдений F>F_q и нулевая гипотеза должна быть отвергнута.