2014-02-02
742
Алгебраические критерии устойчивости
Алгебраические критерии основаны на анализе знаков выражений, вычисленных по коэффициентам характеристического уравнения системы.
(7.4)
Они позволяют судить об устойчивости системы, как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии.
Применение критерия требует составления таблицы Рауса (табл.7.1)
Таблица 7.1
| Вспомогательные коэффициенты | Номер строки | Номер столбца | ||
| -- | а11=с0 | а12=с2 | а13=с4 | |
| -- | а21=с1 | а22=с3 | а23=с5 | |
| а31=а12-r3a22 | a32=a13-r3a23 | a33=a14-r3a24 | |
| a4=a22-r4a32 | a42=a23-r4a33 | a43=a24-r4a34 | |
| …… | … | ………… | …………. | …………. |
| i | ai1=ai -2,2-r1ai-1,2 | ai2=ai-2,3- r1ai-1,3 | ai3=ai-2,4- riai-1,4 |
| …… | … | ………… | ………….. | ………..... |
| n+1 | an+1,1=an-1,2- rn+1аn,2 | --- | --- |
Элементами ее первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения (7.4), начиная с С0 . Элементы второй строки - нечетные коэффициенты, начиная с C1. Элементы последующих строк вычисляют по приведенным в табл.7.1 формулам, причем перед вычислением элементов какой-либо i -й строки необходимо предварительно вычислить коэффициент ri. Всего в таблице заполняют (n+I) строк.
|
|
|
Критерий формулируют следующим образом: система устойчива, если все элементы первого столбца таблицы Рауса имеют одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение приводят к такому виду, когда С0 > 0,тогда для устойчивости системы все остальные элементы первого столбца должны быть положительными: ai1>0, i= 2,3,... n+1. При наличии отрицательных элементов в первом столбце таблицы Рауса система неустойчива. Если один из элементов первого столбца равен нулю, а остальные элементы положительные, система на границе устойчивости.
Составляя таблицу Рауса, расчет можно закончить сразу же после появления нулевого или отрицательного элемента в первом столбце. В этом случае уже можно сделать вывод, что система на границе устойчивая или неустойчивая.
Полностью заполненная таблица Рауса позволяет определить также число правых, нулевых и чисто мнимых корней. Число отрицательных коэффициентов в первом столбце равно числу положительных корней характеристического уравнения. Число коэффициентов равных нулю в середине первого столбца показывает число пар мнимых корней. Число нулей в конце первого столбца равно числу нулевых корней.
